Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón

Câu hỏi số 572306:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right),\,\,B\left( {6;5;5} \right)\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) ngoại tiếp mặt cầu đường kính \(AB\) có \(B\) là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi \(S\) là đỉnh khối nón \(\left( N \right)\). Khi thể tich của khối nón \(\left( N \right)\) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh \(S\) và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình \(2x + by + cz + d = 0\). Tính \(T = b + c + d\).

A. \(T = 24\).

B. \(T = 12\).

C. \(T = 36\).

D. \(T = 18\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:572306

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu. Khi đó \(I\left( {4;3;4} \right)\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = 3\).

Đặt \(SA = x \Rightarrow h = x + 6\).

\(\Delta SMI \sim \Delta SBN \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SN}} = \dfrac{{MI}}{{BN}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{r^2} + {{\left( {x + 6} \right)}^2}} }} = \dfrac{3}{r}\\ \Rightarrow r\left( {x + 3} \right) = 3\sqrt {{r^2} + {{\left( {x + 6} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {r^2}{\left( {x + 3} \right)^2} = 9\left( {{r^2} + {{\left( {x + 6} \right)}^2}} \right)\\ \Rightarrow {r^2} = \dfrac{{9{{\left( {x + 6} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 9}}\end{array}\)

Khi đó \({V_N} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = 3\pi \dfrac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 9}}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 9}},\,\,x > 0\)

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{{x^2}}},\,\,x > 0\)

Khi đó \(\min f\left( x \right) = f\left( 6 \right)\)

Suy ra \(SI = 6,\,\,SB = 12\). Do đó \(A\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow S\left( { - 2; - 3;1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4;2} \right)\). Chọn \(\vec n = \left( {2;2;1} \right)\) là véc tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 3} \right) + z - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z + 9 = 0\)

Khi đó \(a = 2,\,\,b = 1,c = 9 \Rightarrow T = 12\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.