Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn c(a2 + b2) = a+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 57512:

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn c(a² + b²) = a+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = $\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

A. Pmin =- $\frac{71}{108}$

B. Pmin = $\frac{91}{108}$

C. Pmin = - $\frac{91}{108}$

D. Pmin = $\frac{71}{108}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:57512

Giải chi tiết

Ta có c(a² + b²) = a+b = > 2(a+b) = 2c(a² + b² ) ≥(a+b)² => a+b ≤ $\frac{2}{c}$

= > (1+a)(1+b) ≤ $\frac{1}{4}$ (2+a+b²) ≤ $\frac{1}{4}$ (2+ $\frac{2}{c}$ )²

= $\frac{1+c^{2}}{c^{2}}$ => $\frac{1}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{c^{2}}{1+c^{2}}$

Theo Cô- si: P ≥ $\frac{2}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{2c^{2}+1}{1+c^{2}}+\frac{4c^{2}}{1+c^{3}}$

= $\frac{2c^{3}+6c^{2}+c+1}{(c+1)^{3}}$

Xét hàm số f(c) = $\frac{2c^{3}+6c^{2}+c+1}{(c+1)^{3}}$ , f'(c) = $\frac{2(5c-1)}{(1+c)^{4}}$ = 0 <=> c= $\frac{1}{5}$

Lập bảng biến thiên: có f(c) ≥ f( $\frac{1}{5}$ ) = $\frac{91}{108}$

Suy ra P ≥ f(c) ≥ $\frac{91}{108}$ => Pmin = $\frac{91}{108}$ <=> c= $\frac{1}{5}$ , a=b=5

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.