Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Dựng hai đường sinh \(SA\) và \(SB\) sao cho

Câu hỏi số 575556:

Vận dụng

Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Dựng hai đường sinh \(SA\) và \(SB\) sao cho tam giác \(SAB\) vuông và có diện tích bằng \(4{a^2}\), góc tạo bởi trục \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. \(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575556

Phương pháp giải

Gọi \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(a'\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OM \bot AB\).

Mà \(SO \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow \left( {SOM} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow SM\) là hình chiếu vuông góc của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SO;\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO;SM} \right) = \widehat {OSM} = {30^0}\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow {S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}.SM.AB = \dfrac{1}{4}A{B^2} = 4{a^2}\).

\( \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}AB = 2a\).

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\, \Rightarrow SO = SM.\cos S = 2a.\cos {30^0} = a\sqrt 3 \) và \(OM = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\).

Tam giác \(OAM\) vuông tại \(O\, \Rightarrow OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).

Thể tích của khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .5{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\pi {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.