Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Dựng hai đường sinh \(SA\) và \(SB\) sao cho tam giác \(SAB\) vuông và có diện tích bằng \(4{a^2}\), góc tạo bởi trục \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích của khối nón đã cho bằng

Câu 575556: Cho khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Dựng hai đường sinh \(SA\) và \(SB\) sao cho tam giác \(SAB\) vuông và có diện tích bằng \(4{a^2}\), góc tạo bởi trục \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. \(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Câu hỏi : 575556

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(a'\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OM \bot AB\).
Mà \(SO \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow \left( {SOM} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow SM\) là hình chiếu vuông góc của \(SO\) lên \(\left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {SO;\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO;SM} \right) = \widehat {OSM} = {30^0}\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow {S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}.SM.AB = \dfrac{1}{4}A{B^2} = 4{a^2}\).
\( \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}AB = 2a\).
Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\, \Rightarrow SO = SM.\cos S = 2a.\cos {30^0} = a\sqrt 3 \) và \(OM = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\).
Tam giác \(OAM\) vuông tại \(O\, \Rightarrow OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).
Thể tích của khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .5{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\pi {a^3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.