Cho hai hàm số \(y = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6;\,y = x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m
Cho hai hàm số \(y = {x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6;\,y = x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại 4 điểm phân biệt?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
\(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại 4 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:
\({x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6 = x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right)\).
Nhận xét: \(x = 0;x = 2;x = 3\) không là nghiệm của phương trình.
Xét \(x \ne 0;x \ne 2;x \ne 3\), phương trình đã cho tương đương \(\dfrac{{{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \left| x \right| = m\) (*)
Ta có: \(\dfrac{{{x^4} - 6{x^3} + 5{x^2} + 11x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = x - 1 + \dfrac{{ - 6{x^2} + 17x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).
Xét \(\dfrac{{ - 6{x^2} + 17x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{{x - 2}} + \dfrac{C}{{x - 3}}\) \( = \dfrac{{(A + B + C){x^2} + ( - 5A - 3B - 2C)x + 6A}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + C = - 6\\ - 5A - 3B - 2C = 17\\6A = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 1\\B = - 2\\C = - 3\end{array} \right.\).
Do đó \(\dfrac{{ - 6{x^2} + 17x - 6}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} - \dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\).
(*) \( \Leftrightarrow \) \(x - 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 3}} + \left| x \right| = m\) .
Xét hàm số \(y = \)\(g\left( x \right) = x - 1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 3}} + \left| x \right|\).
TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ {0,2,3} \right\}\).
\(g'\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \dfrac{x}{{\left| x \right|}}\).
\(g'\left( x \right) = \dfrac{{\left| x \right| + x}}{{\left| x \right|}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)\( > 0\) với mọi \(x \in D\).
Bảng biến thiên:
Để \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) (đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\)).
Căn cứ bảng biến thiên để có 4 giao điểm thì \(m > 0\).
Vì \(m \in \left[ { - 2022;2022} \right]\), \(m \in {\bf{Z}}\) nên \(m \in \) \(\left\{ {1;2;...;2022} \right\}\).
Vậy có 2022 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
