Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)\),

Câu hỏi số 576311:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\)?

A. \(\dfrac{2}{5}\)

B. \( - 1\)

C. \(\dfrac{3}{5}\)

D. 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576311

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)dx} = {e^{2x}}\sin x + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2x}}\sin x\).

Do F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {a + 2b} \right)\cos x} \right] = {e^{2x}}\sin x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow T = a + 2b - 1 = - 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.