Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Biết hàm

Câu hỏi số 576315:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là -5 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) và \(y = 1\) bằng

A. ln3

B. 3ln2

C. ln10

D. ln7

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:576315

Giải chi tiết

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\)

\( = {x^3} + \left( {a + 3} \right){x^2} + \left( {2a + b + 6} \right)x + \left( {2a + b + c} \right)\)

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)\\ = 3{x^2} + 2ax + b + 6x + 2a + 6\\ = 3{x^2} + \left( {2a + 6} \right)x + \left( {2a + b + 6} \right)\end{array}\)

Vì g(x) có hai giá trị cực trị là -5 và 2 nên phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với \(g\left( {{x_1}} \right) = - 5,\,\,g\left( {{x_2}} \right) = 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6}}{{g\left( x \right) + 6}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2} + \left( {2a + 6} \right)x + \left( {2a + b + 6} \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 0\)

Phương trình này cũng có 2 nghiệm pb \({x_1},\,\,{x_2}\)

Vậy diện tích hình phẳng cần tính:

\(\begin{array}{l}S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 6} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\\ = \left| {\ln \left| {2 + 6} \right| - \ln \left| { - 5 + 6} \right|} \right| = 3\ln 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.