Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\). Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được 2

Câu hỏi số 577496:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\). Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị.

A. \(m = \dfrac{4}{3}\)

B. \(m = \dfrac{4}{3}\) hoặc \(m = \dfrac{{109}}{{81}}\)

C. \(m = 3\)

D. \(m = \dfrac{{28}}{{27}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:577496

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc là \(k\) là: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Điều kiện để đường thẳng trở thành tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (*)

Đổi thành bài toán: Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Giải chi tiết

Gọi phương trình tiếp tuyến qua M(1;2) là: \(y = k\left( {x - 1} \right) + 2\)

Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = k\left( {x - 1} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 4x + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (2) và (1),

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m = \left( {3{x^2} - 4x + m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{x^2} + mx - x + 2m = 3{x^3} - 3{x^2} - 4{x^2} + 4x + mx - m - x + 1 + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x - 3m + 3 = 0\end{array}\)

(Đổi: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3 = 3m\)

Vẽ \(y = 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 3\)

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^2} - 10x + 4\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\left[ \begin{array}{l}3m = \dfrac{{109}}{{27}}\\3m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{109}}{{81}}\\m = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \dfrac{4}{3}\) hoặc \(m = \dfrac{{109}}{{81}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.