Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = 2a, = 600 . Hình chiếu vuônggóc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABD. Biết tam giác SAC vuông tại đỉnh S, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Câu hỏi số 57770:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = 2a, $\widehat{BAD}$ = 60⁰ . Hình chiếu vuônggóc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABD. Biết tam giác SAC vuông tại đỉnh S, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:57770

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có tam giác ABD đều. Gọi {O} = AC ∩ BD . Ta có AC = 2AO = 2√3a .

Diện tích hình thoi ABCD là S.ABCD = $\frac{1}{2}$ AC.BD = 2√3a²

H là trọng tâm của ∆ABD nên AH = $\dpi{80} \frac{2}{3}$ AO = $\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

CH = $\frac{2}{3}$ AC = $\frac{4\sqrt{3}a}{3}$

Tam giác SAC vuông tại S, có đường cao SH nên ∆SAH đồng dạng với ∆ CSH ( vì cùng đồng dạng với tam giác ASC:

=> $\frac{SH}{CH}$ = $\frac{AH}{SH}$ => SH = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ a

Thể tích khối chóp S.ABCD là V = $\frac{1}{3}$ SH. S(ABCD) = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ a³

Gọi M là trung điểm của cạnh SC

Tam giác SAC vuông tại S nên OM ⊥ SC ( do OM là đường trung bình trong tam giÁC SAC)(1)

Ta có OB ⊥ SH,OB ⊥ AC ⇒OB ⊥ SC,OB ⊥OM (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng góc $\widehat{BMO}$

Ta có OM = $\frac{1}{2}$ SA = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{AH^{2}+SH^{2}}$ = a; OB = $\frac{1}{2}$ BD = a

Tam giác OBM vuông cân tại O

=> $\widehat{OMB}$ = 45⁰

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 45⁰

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.