Biết rằng:phương trình bậc hai \({x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và

Câu hỏi số 580460:

Vận dụng cao

Biết rằng:

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_1}\);

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_2}x + {b_2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_2}\);

…

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_{2022}}x + {b_{2022}} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_{2022}}\).

Chứng minh rằng số thực \(a = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2022}}}}{{2022}}\) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\({x^2} + \left( {\dfrac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}} \right)x + \left( {\dfrac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}} \right) = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580460

Phương pháp giải

Vận dụng định lí Viete đảo và Viete thuận

Giải chi tiết

Trước hết, ta có thể dự đoán \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (*). Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2022\left( {x_0^2 + \left( {\dfrac{{{a_1} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}} \right){x_0} + \dfrac{{{b_1} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}} \right)\\ = 2022x_0^2 + \left( {{a_1} + ... + {a_{2022}}} \right){x_0} + \left( {{b_1} + ... + {b_{2022}}} \right)\\ = \left( {x_0^2 + {a_1}{x_0} + {b_1}} \right) + ... + \left( {x_0^2 + {a_{2022}}{x_0} + {b_{2022}}} \right)\\ = 0\end{array}\)

Do đó, để chứng minh \(a\) là nghiệm của phương trình (*), ta chỉ cẩn sử dụng định lí Viete đảo. Nói cách khác, ta chỉ cần chứng minh

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + a = \dfrac{{{a_1} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}\\{x_0}a = \dfrac{{{b_1} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}\end{array} \right.\) (1)

Bây giờ, áp dụng định lý Viete cho các phương trình đề bài, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {x_i} = - {a_i}\\{x_0}{x_i} = {b_i}\end{array} \right.\) với mọi i = 1,…,2022 (2)

Cộng theo vế từ các hệ phương trình (2), ta suy ra hệ phương trình (1) là đúng. Bài toán được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link