Biết rằng:phương trình bậc hai \({x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và

Câu hỏi số 580460:

Vận dụng cao

Biết rằng:

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_1}x + {b_1} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_1}\);

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_2}x + {b_2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_2}\);

…

phương trình bậc hai \({x^2} + {a_{2022}}x + {b_{2022}} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_0}\) và \({x_{2022}}\).

Chứng minh rằng số thực \(a = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_{2022}}}}{{2022}}\) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\({x^2} + \left( {\dfrac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}} \right)x + \left( {\dfrac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}} \right) = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580460

Phương pháp giải

Vận dụng định lí Viete đảo và Viete thuận

Giải chi tiết

Trước hết, ta có thể dự đoán \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (*). Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2022\left( {x_0^2 + \left( {\dfrac{{{a_1} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}} \right){x_0} + \dfrac{{{b_1} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}} \right)\\ = 2022x_0^2 + \left( {{a_1} + ... + {a_{2022}}} \right){x_0} + \left( {{b_1} + ... + {b_{2022}}} \right)\\ = \left( {x_0^2 + {a_1}{x_0} + {b_1}} \right) + ... + \left( {x_0^2 + {a_{2022}}{x_0} + {b_{2022}}} \right)\\ = 0\end{array}\)

Do đó, để chứng minh \(a\) là nghiệm của phương trình (*), ta chỉ cẩn sử dụng định lí Viete đảo. Nói cách khác, ta chỉ cần chứng minh

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + a = \dfrac{{{a_1} + ... + {a_{2022}}}}{{2022}}\\{x_0}a = \dfrac{{{b_1} + ... + {b_{2022}}}}{{2022}}\end{array} \right.\) (1)

Bây giờ, áp dụng định lý Viete cho các phương trình đề bài, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {x_i} = - {a_i}\\{x_0}{x_i} = {b_i}\end{array} \right.\) với mọi i = 1,…,2022 (2)

Cộng theo vế từ các hệ phương trình (2), ta suy ra hệ phương trình (1) là đúng. Bài toán được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link