Tìm các số thực \(x\) sao cho \(a = x + \sqrt 2 \) và \(b = {x^3} + 5\sqrt 2 \) đồng thời là hai số

Câu hỏi số 580459:

Vận dụng cao

Tìm các số thực \(x\) sao cho \(a = x + \sqrt 2 \) và \(b = {x^3} + 5\sqrt 2 \) đồng thời là hai số hữu tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580459

Phương pháp giải

Đặt \(a = x + \sqrt 2 \in \mathbb{Q}\)

Biến đổi \(b = f\left( a \right)\), chứng minh \(b \in \mathbb{Q}\)

Từ đó tìm \(x\) theo \(a\).

Giải chi tiết

Đặt \(a = x + \sqrt 2 \in \mathbb{Q}\). Khi đó, ta có:

\({x^3} + 5\sqrt 2 = {\left( {a - \sqrt 2 } \right)^3} + 5\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} = {a^3} - 3{a^2}\sqrt 2 + 3a.2 - 2\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \\ = {a^3} + 6a + 3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right)\end{array}\)

Vì \(a \in \mathbb{Q}\) nên ta suy ra \({a^3} + 6a \in \mathbb{Q}_{}^{}\). Suy ra \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right) = \left( {{x^3} + 5\sqrt 2 } \right) - \left( {{a^3} + 6a} \right) \in \mathbb{Q}\)

Mặt khác, vì \(1 - {a^2}\) cũng là số hữu tỉ nên số \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right)\) chỉ có thể là số hữu tỉ khi nó bằng 0. Nói cách khác, \(a\) phải là số thỏa mãn \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right) = 0\) hay \({a^2} - 1 = 0\). Suy ra \(a \in \left\{ { - 1;1} \right\}\). Như vậy, ta có: \(x = a - \sqrt 2 \in \left\{ { - 1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link