Tìm các số thực \(x\) sao cho \(a = x + \sqrt 2 \) và \(b = {x^3} + 5\sqrt 2 \) đồng thời là hai số

Câu hỏi số 580459:

Vận dụng cao

Tìm các số thực \(x\) sao cho \(a = x + \sqrt 2 \) và \(b = {x^3} + 5\sqrt 2 \) đồng thời là hai số hữu tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580459

Phương pháp giải

Đặt \(a = x + \sqrt 2 \in \mathbb{Q}\)

Biến đổi \(b = f\left( a \right)\), chứng minh \(b \in \mathbb{Q}\)

Từ đó tìm \(x\) theo \(a\).

Giải chi tiết

Đặt \(a = x + \sqrt 2 \in \mathbb{Q}\). Khi đó, ta có:

\({x^3} + 5\sqrt 2 = {\left( {a - \sqrt 2 } \right)^3} + 5\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} = {a^3} - 3{a^2}\sqrt 2 + 3a.2 - 2\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \\ = {a^3} + 6a + 3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right)\end{array}\)

Vì \(a \in \mathbb{Q}\) nên ta suy ra \({a^3} + 6a \in \mathbb{Q}_{}^{}\). Suy ra \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right) = \left( {{x^3} + 5\sqrt 2 } \right) - \left( {{a^3} + 6a} \right) \in \mathbb{Q}\)

Mặt khác, vì \(1 - {a^2}\) cũng là số hữu tỉ nên số \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right)\) chỉ có thể là số hữu tỉ khi nó bằng 0. Nói cách khác, \(a\) phải là số thỏa mãn \(3\sqrt 2 \left( {1 - {a^2}} \right) = 0\) hay \({a^2} - 1 = 0\). Suy ra \(a \in \left\{ { - 1;1} \right\}\). Như vậy, ta có: \(x = a - \sqrt 2 \in \left\{ { - 1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link