Chứng minh \(\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2\), ta có \(\dfrac{3}{{9.14}} + \dfrac{3}{{14.19}} + \dfrac{3}{{19.24}}

Câu hỏi số 581356:

Vận dụng

Chứng minh \(\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2\), ta có

\(\dfrac{3}{{9.14}} + \dfrac{3}{{14.19}} + \dfrac{3}{{19.24}} + ... + \dfrac{3}{{\left( {5n - 1} \right)\left( {5n + 4} \right)}} < \dfrac{1}{{15}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:581356

Phương pháp giải

+ Tách số hạng thành hiệu hai số : \(\dfrac{{b - a}}{{ab}} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\left( {a,b \ne ,b \ne a} \right)\)

+ Với \(x = \dfrac{a}{m};y = \dfrac{b}{m}\left( {a,b,n \in \mathbb{Z},m > 0} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}\\x - y = \dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a - b}}{m}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\quad \dfrac{3}{{9.14}} + \dfrac{3}{{14.19}} + \dfrac{3}{{19.24}} + ... + \dfrac{3}{{\left( {5n - 1} \right)\left( {5n + 4} \right)}}\\ = 3.\left( {\dfrac{1}{{9.14}} + \dfrac{1}{{14.19}} + \dfrac{1}{{19.24}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {5n - 1} \right)\left( {5n + 4} \right)}}} \right)\\ = 3.\dfrac{1}{5}.\left[ {\dfrac{5}{{9.14}} + \dfrac{5}{{14.19}} + \dfrac{5}{{19.24}} + ... + \dfrac{5}{{\left( {5n - 1} \right)\left( {5n + 4} \right)}}} \right]\\ = \dfrac{3}{5}.\left[ {\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{1}{{14}} - \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{19}} - \dfrac{1}{{24}} + ... + \dfrac{1}{{5n - 1}} - \dfrac{1}{{5n + 4}}} \right]\\ = \dfrac{3}{5}.\left( {\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{5n + 4}}} \right)\\ = \dfrac{3}{5}.\dfrac{{5n + 4 - 9}}{{9\left( {5n + 4} \right)}}\\ = \dfrac{3}{5}.\dfrac{{5\left( {n - 1} \right)}}{{9\left( {5n + 4} \right)}}\\ = \dfrac{{n - 1}}{{3\left( {5n + 4} \right)}} = \dfrac{{n - 1}}{{15n + 12}}\end{array}\)

Vì \(n \ge 2\) nên \(n > 1 \Rightarrow n - 1 < 0 < 1\)

Ta có \(15n + 12 \ge 42 > 15 \Rightarrow \dfrac{1}{{15n + 12}} < \dfrac{1}{{15}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{n - 1}}{{15n + 12}} < \dfrac{1}{{15}}\)

Suy ra \(\dfrac{3}{{9.14}} + \dfrac{3}{{14.19}} + \dfrac{3}{{19.24}} + ... + \dfrac{3}{{\left( {5n - 1} \right)\left( {5n + 4} \right)}} < \dfrac{1}{{15}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link