Chứng minh : a) \(\dfrac{1}{{2.5}} + \dfrac{1}{{5.8}} + \dfrac{1}{{8.11}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {3n - 1}

Câu hỏi số 581355:

Vận dụng

Chứng minh :

a) \(\dfrac{1}{{2.5}} + \dfrac{1}{{5.8}} + \dfrac{1}{{8.11}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} = \dfrac{n}{{6n + 4}}\)

b) \(\dfrac{5}{{3.7}} + \dfrac{5}{{7.11}} + \dfrac{5}{{11.15}} + ... + \dfrac{5}{{\left( {4n - 1} \right)\left( {4n + 3} \right)}} = \dfrac{{5n}}{{4n + 3}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:581355

Phương pháp giải

+ Tách số hạng thành hiệu hai số : \(\dfrac{{b - a}}{{ab}} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\left( {a,b \ne ,b \ne a} \right)\)

+ Với \(x = \dfrac{a}{m};y = \dfrac{b}{m}\left( {a,b,n \in \mathbb{Z},m > 0} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}\\x - y = \dfrac{a}{m} - \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a - b}}{m}\end{array} \right.\)

+ Với \(x = \dfrac{a}{b};y = \dfrac{c}{d}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x.y = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{ac}}{{bd}}\\\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{ad}}{{bc}}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{{2.5}} + \dfrac{1}{{5.8}} + \dfrac{1}{{8.11}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}} = \dfrac{n}{{6n + 4}}\)

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{1}{{2.5}} + \dfrac{1}{{5.8}} + \dfrac{1}{{8.11}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\\quad \; = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + ... + \dfrac{3}{{\left( {3n - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\\quad \; = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + ... + \dfrac{1}{{3n - 1}} - \dfrac{1}{{3n + 2}}} \right)\\\quad \; = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{3n + 2}}} \right)\\\quad \; = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3n + 2 - 2}}{{2\left( {3n + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3n}}{{2\left( {3n + 2} \right)}}\\\quad \; = \dfrac{n}{{6n + 4}} = VP\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) \(\dfrac{5}{{3.7}} + \dfrac{5}{{7.11}} + \dfrac{5}{{11.15}} + ... + \dfrac{5}{{\left( {4n - 1} \right)\left( {4n + 3} \right)}} = \dfrac{{5n}}{{12n + 9}}\)

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{5}{{3.7}} + \dfrac{5}{{7.11}} + \dfrac{5}{{11.15}} + ... + \dfrac{5}{{\left( {4n - 1} \right)\left( {4n + 3} \right)}}\\\quad \; = \dfrac{5}{4}.\left[ {\dfrac{4}{5}.\left( {\dfrac{5}{{3.7}} + \dfrac{5}{{7.11}} + \dfrac{5}{{11.15}} + ... + \dfrac{5}{{\left( {4n - 1} \right)\left( {4n + 3} \right)}}} \right)} \right]\\\quad \; = \dfrac{5}{4}.\left[ {\dfrac{4}{{3.7}} + \dfrac{4}{{7.11}} + \dfrac{4}{{11.15}} + ... + \dfrac{4}{{\left( {4n - 1} \right)\left( {4n + 3} \right)}}} \right]\\\quad \; = \dfrac{5}{4}.\left[ {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{15}} + ... + \dfrac{1}{{4n - 1}} - \dfrac{1}{{4n + 3}}} \right]\\\quad \; = \dfrac{5}{4}\left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{4n + 3}}} \right)\\\quad \; = \dfrac{5}{4}.\dfrac{{4n + 3 - 3}}{{3\left( {4n + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{4}.\dfrac{{4n}}{{3\left( {4n + 3} \right)}}\\\quad \; = \dfrac{{5n}}{{12n + 9}} = VP\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link