Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m + 1} \right){16^x} - 2\left( {2m - 3} \right){4^x} + 6m

Câu hỏi số 582052:

Vận dụng

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m + 1} \right){16^x} - 2\left( {2m - 3} \right){4^x} + 6m + 5 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu?

A. \( - 4 < m < - 1\)

B. Không tồn tại m

C. \( - 1 < m < \dfrac{3}{2}\)

D. \( - 1 < m < - \dfrac{5}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = {4^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thực trái dấu thì phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} > 1\\{t_2} < 1\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {4^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {m + 1} \right){t^2} - 2\left( {2m - 3} \right)t + 6m + 5 = 0\)

+) Để có 2 nghiệm t > 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\{\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\\\dfrac{{2\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} > 0\\\dfrac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 2{m^2} - 23m + 4 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{2}\\m < - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > - \dfrac{5}{6}\\m < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\ - 11,67 < m < 0,17\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{2}\\m < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 11,67 < m < - 1\end{array}\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0 \Leftrightarrow {4^{{x_1}}} > {4^0} \Leftrightarrow {t_1} > 1\\{x_2} < 0 \Leftrightarrow {4^{{x_2}}} < {4^0} \Leftrightarrow {t_2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} - 1 > 0\\{t_2} - 1 < 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6m + 5}}{{m + 1}} - \dfrac{{2\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} + \dfrac{{m + 1}}{{m + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6m + 5 - 4m + 6 + m + 1}}{{m + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 12}}{{m + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow - 4 < m < - 1\end{array}\)

Vậy \( - 4 < m < - 1\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:582052

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.