Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho điểm A

Câu hỏi số 582503:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho điểm A nằm giữa hai điểm C và E. Gọi M và H lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE.

a) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh BC.BM = BH.BE và HM là tia phân giác của góc AHB.

c) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EN và AB. Chứng minh ba điểm H, K, M là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:582503

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Sử dụng tính chất của tam giác cân

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp

c) ABNC là hình vuông

Gọi giao điểm của \(HM\) và \(AB\) là \(K'\) Ta sẽ chứng minh \(K'\) trùng \(K\) dựa vào các tỉ lệ của các cạnh của hai tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

Ta có: M và H là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AH \bot BE\end{array} \right. \Rightarrow \angle AMB = \angle AHB = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle AMB + \angle AHB = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow AMBH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh BC.BM = BH.BE và HM là tia phân giác của góc AHB.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A có đường cao AM, ta có:

\(BC.BM = A{B^2}\) (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE vuông tại A có đường cao AH, ta có:

\(BH.BE = A{B^2}\) (2)

\( \Rightarrow BC.BM = BH.BE\)(đpcm)

Xét tam giác ABC vuông cân tại A:

Ta có \(\angle MBA = {45^0}\)

AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên \(\angle MAB = {45^0}\)

Vì \(AMBH\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có:

\(\angle AHM = \angle ABM = {45^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

\(\angle MHB = \angle MAB = {45^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

\( \Rightarrow \angle AHM = \angle MHB = {45^0}\)

Hay \(HM\) là phân giác góc \(AHB\) (đpcm).

c) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EN và AB. Chứng minh ba điểm H, K, M là ba điểm thẳng hàng.

Tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow M\) là trung điểm của BC (đường cao đồng thời là trung tuyến)

Vì \(N\) đối xứng \(A\) qua \(M\) nên M là trung điểm của AN.

\( \Rightarrow ABNC\) là hình bình hành.

Lại có \(\angle BAC = {90^0},\,\,AB = AC\) nên ABNC là hình vuông (dhnb).

Gọi giao điểm của \(HM\) và \(AB\) là \(K'\) Ta sẽ chứng minh \(K'\) trùng \(K.\)

Theo câu b) ta có \(HM\) là phân giác góc \(AHB\) nên: \(\dfrac{{K'A}}{{K'B}} = \dfrac{{HA}}{{HB}}\)

Xét tam giác \(\Delta HAB\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHB = \angle BAE = {90^0}\\\angle ABE{\rm{ chung}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta HAB \sim \Delta AEB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỷ lệ)

Suy ra \(\dfrac{{K'A}}{{K'B}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{K'A}}{{K'B}} = \dfrac{{AE}}{{BN}}\) (vì \(AB = BN\)do \(ABNC\) là hình vuông)

Xét tam giác \(AEK'\) và tam giác \(BNK'\) có:

\(\dfrac{{K'A}}{{K'B}} = \dfrac{{AE}}{{BN}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle K'AE = \angle K'BN = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta AEK' \sim \Delta BNK'\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle AK'E = \angle BK'N\), mà 2 góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh.

\( \Rightarrow E,K',N\) thẳng hàng

Suy ra \(K' \equiv K \Rightarrow \)\(H,K,M\) thẳng hàng (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link