Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 582502:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + {m^2}\).

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = - 3\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:582502

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( * \right)\)

(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

b) Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Biến đổi phương trình \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = - 3\) sau đó thay \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\) vừa tìm được để tìm giá trị của \(m\)

Giải chi tiết

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:

\({x^2} = 2x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - {\left( { - m} \right)^2} = {m^2} + 1 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (đpcm)

b) Vì \({x_1},{x_2}\) là hoành độ giao điểm của (d) và (P) hay \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right.\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = - 3\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 = - 3\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 + 3 = 0\\ \Leftrightarrow - {m^2} + 2 + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - {m^2} + 6 = 0\\ \Leftrightarrow - {m^2} = - 6\\ \Leftrightarrow {m^2} = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt 6 \,\,\left( {tm} \right)\\m = - \sqrt 6 \,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ { - \sqrt 6 ;\sqrt 6 } \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link