Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức:
Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN. Chứng minh bất đẳng thức: \(\dfrac{{\left( {MC + MA} \right)\left( {NB + NA} \right)}}{{MA.NA}} \ge 3 + 2\sqrt 2 \)
Quảng cáo
Vận dụng tính chất của đường phân giác
Định lý Py – ta – go
Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương
Tam giác ABC có BM, CN là các đường phân giác
\( \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{BC}}{{Ab}};\,\,\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) (định lí đường phân giác)
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Từ trên áp dụng bất đẳng thức BĐT Cô – si cho hai số dương, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{\left( {MC + MA} \right)\left( {NB + NA} \right)}}{{MA.NA}} = \dfrac{{MC + MA}}{{MA}}.\dfrac{{NB + NA}}{{NA}}\\ = \left( {\dfrac{{MC}}{{MA}} + 1} \right)\left( {\dfrac{{NB}}{{NA}} + 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{BC}}{{AB}} + 1} \right)\left( {\dfrac{{BC}}{{AC}} + 1} \right)\\ = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB.AC}} + \dfrac{{BC}}{{AB}} + \dfrac{{BC}}{{AC}} + 1\\ = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{AB.AC}} + 1 + \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \left( {\dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{AC}}} \right)\\ \ge \dfrac{{2AB.AC}}{{AB.AC}} + 1 + \sqrt {2AB.AC} .2\sqrt {\dfrac{1}{{AB}}.\dfrac{1}{{AC}}} = 2 + 1 + 2\sqrt 2 = 2 + 3\sqrt 2 \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
