Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (giả sử các biểu thức có nghĩa)a) \({\left(

Câu hỏi số 583822:

Vận dụng

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (giả sử các biểu thức có nghĩa)

a) \({\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2}\)

b) \(\dfrac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583822

Phương pháp giải

a) Khai triển hằng đẳng thức và sử dụng \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\).

b) Sử dụng \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\), \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\tan }^2}\alpha + 2\tan \alpha \cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right) - \left( {{{\tan }^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right)\\ = 4\tan \alpha \cot \alpha = 4\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\cos }^4}x - 1}}{{1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}\\ = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 2{{\cos }^4}x - 1}}{{1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}\\ = \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 2{{\cos }^4}x}}{{ - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x}}\\ = \dfrac{{ - 2{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)}}{{ - 3{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10