Biết \(\tan x + \cot x = m\). Tìm \(\dfrac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}\)

Câu hỏi số 583829:

Vận dụng

Biết \(\tan x + \cot x = m\). Tìm \(\dfrac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}\) theo m.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583829

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức tính \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x\) theo m.

Sử dụng hằng đẳng thức tính \({\tan ^6}x + {\cot ^6}x\) và \({\tan ^4}x + {\cot ^4}x\) theo m.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - 2\tan x\cot x = {m^2} - 2\\{\tan ^6}x + {\cot ^6}x\\ = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^3} - 3{\tan ^2}x.{\cot ^2}x\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)\\ = {\left( {{m^2} - 2} \right)^3} - 3\left( {{m^2} - 2} \right)\\ = \left( {{m^2} - 2} \right)\left[ {{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 3} \right]\\{\tan ^4}x + {\cot ^4}x\\ = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^2} - 2{\tan ^2}x{\cot ^2}x\\ = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}} = \dfrac{{\left( {{m^2} - 2} \right)\left[ {{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 3} \right]}}{{{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 3}}{{{m^2} - 2}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10