Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {2 + x}

Câu hỏi số 584523:

Vận dụng

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

A. \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

B. \(\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)

C. \(\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)

D. \(\dfrac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:584523

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ x + 1 = t.

Giải chi tiết

\(\int {\dfrac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(x + 1 = t \Rightarrow x = t - 1\).

\( \Rightarrow dx = dt\)

Thay:

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2\left( {t - 1} \right)}}{{{t^2}}}dt} = \int {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}}dt} \\ = \int {\left( {1 - \dfrac{1}{{{t^2}}}dt} \right)} = t + \dfrac{1}{t} + C\\ = x + 1 + \dfrac{1}{{x + 1}} + C\\ = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} + C\end{array}\)

Với C = -1.

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} + C = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} - 1 = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)

Với C = -2

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} + C = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} - 2 = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Với C = -3

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} + C = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}} - 3 = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.