Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; mặt phẳng (AMN) cắt SC tại I (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích khối đa diện ABCDMNI.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định điểm I.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC tính \(\dfrac{{SI}}{{SC}}\).
Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson, tính \(\dfrac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABC}}}},\,\,\dfrac{{{V_{S.AMI}}}}{{{V_{S.ADC}}}}\) và suy ra \(\dfrac{{{V_{S.AMNI}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{ABCDMNI}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\).
Tính \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\) và tính \({V_{ABCDMNI}}\).
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Trong (SBD) gọi \(E = MN \cap SO\).
Trong (SAC) kéo dài AE cắt SC tại I.
\( \Rightarrow I = SC \cap \left( {AMN} \right)\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SM}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC, cát tuyến AEI ta có:
\(\dfrac{{AO}}{{AC}}.\dfrac{{IC}}{{IS}}.\dfrac{{ES}}{{EO}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{IC}}{{IS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{IC}}{{IS}} = 2\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.ANI}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.ANI}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.AMI}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SD}}.\dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.AMI}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMNI}} = {V_{S.ANI}} + {V_{S.AMI}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{ABCDMNI}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AMNI}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)
Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{2}{3}{a^3}\).
Vậy \({V_{ABCDMNI}} = \dfrac{5}{6}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{2}{3}{a^3} = \dfrac{5}{9}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
