a) Một nhóm có 2 bạn nam và 3 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong nhóm đó, tính xác suất để

Câu hỏi số 586190:

Vận dụng cao

a) Một nhóm có 2 bạn nam và 3 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong nhóm đó, tính xác suất để chọn được ít nhất 2 bạn nữ.

b) Tìm số nguyên \(n \ge 17\) thỏa mãn \(C_{17}^0.C_n^{17} + C_{17}^1.C_n^{16} + ... + C_{17}^{17}.C_n^0 = \frac{1}{2}C_{2n}^{18}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:586190

Phương pháp giải

- Tính không gian mẫu: chọn 3 bạn bất kì trong 5 bạn.

- Tính cách chọn ít nhất hai bạn nữa bằng cách chia 2 trường hợp: TH1: Chọn được 2 nữ, 1 nam; TH2: Chọn 3 nữ.

- Tính xác xuất theo công thức.

b) Xét khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{n + 17}} = {\left( {1 + x} \right)^{17}}{\left( {1 + x} \right)^n}\).

Giải chi tiết

a) Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_5^3 = 10\).

Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 2 bạn nữ”.

TH1: Chọn được 2 bạn nữ, 1 bạn nam \( \Rightarrow \) Có \(C_3^2.C_2^1 = 6\) cách chọn.

TH2: Chọn được 3 bạn nữ, 0 bạn nam \( \Rightarrow \) Có \(C_3^3 = 1\) cách chọn.

=> Số phần tử của biến cố A là: \(n\left( A \right) = 6 + 1 = 7\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{7}{{10}}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^{n + 17}} = {\left( {1 + x} \right)^{17}}{\left( {1 + x} \right)^n}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{x^k}} \sum\limits_{l = 0}^n {C_n^l{x^l}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{17} {\sum\limits_{l = 0}^n {C_{17}^k{x^k}C_n^l{x^l}} } \\ = \sum\limits_{k = 0}^{17} {\sum\limits_{l = 0}^n {C_{17}^kC_n^l{x^{k + l}}} } \,\,\left( {k,l \in \mathbb{N},\,\,0 \le k \le 17;\,\,0 \le l \le n} \right)\end{array}\)

Hệ số của \({x^{17}}\) thỏa mãn \(k + l = 17\).

Do đó hệ số của \({x^{17}}\) trong khai triển trên là: \(C_{17}^0C_n^{17} + C_{17}^1C_n^{16} + ... + C_{17}^{17}C_n^0\).

Lại có \({\left( {1 + x} \right)^{n + 17}} = \sum\limits_{m = 0}^{n + 17} {C_{n + 17}^m{x^m}} \) có hệ số của \({x^{17}}\) (ứng với m = 17) là \(C_{n + 17}^{17}\).

\( \Rightarrow C_{n + 17}^{17} = C_{17}^0C_n^{17} + C_{17}^1C_n^{16} + ... + C_{17}^{17}C_n^0\)

Theo bài ra ta có: \(C_{17}^0.C_n^{17} + C_{17}^1.C_n^{16} + ... + C_{17}^{17}.C_n^0 = \frac{1}{2}C_{2n}^{18}\) \( \Leftrightarrow C_{n + 17}^{17} = \dfrac{1}{2}C_{2n}^{18} \Leftrightarrow 2C_{n + 17}^{17} = C_{2n}^{18}\).

Với n = 17 ta có: \(2C_{34}^{17} = C_{34}^{18}\) (vô lí).

Với n = 18 ta có: \(2C_{35}^{17} = C_{36}^{18}\) (thỏa mãn)

Với n > 18 ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C_{n + 17}^{17} < C_{n + 17}^{18}\,\,\left( 1 \right)\\C_{n + 18}^{18} < C_{2n}^{18}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\). Thật vậy:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 17} \right)!}}{{n!17!}} < \dfrac{{\left( {n + 17} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!18!}}\)\( \Leftrightarrow 18 < n\) (luôn đúng)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 18} \right)!}}{{n!18!}} < \dfrac{{\left( {2n} \right)!}}{{\left( {2n - 18} \right)!18!}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {n + 18} \right)\left( {n + 17} \right)...\left( {n + 1} \right)\)\( < 2n\left( {2n - 1} \right)...\left( {2n - 17} \right)\) luôn đúng vì

\(\begin{array}{l}n + 18 < 2n\\...\\n + 1 < 2n - 17\end{array}\)

Do đó, \(2C_{n + 17}^{17} < C_{n + 17}^{17} + C_{n + 17}^{18}\)\( = C_{n + 18}^{18} < C_{2n}^{18}\).

Vậy n = 18.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.