Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB)
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh: BH.BE = BF.BA
c) Đường thẳng CF cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). Gọi P, Q, I lần lượt là các điểm đối xứng của B qua AD, AC, CD; K là giao điểm của BP và AD. Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn
b) \(\Delta BAE \sim \Delta BHF\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow BH.BE = BF.BA\)
c) \(\angle DBK = \angle EBC\); \(\angle DFK = \angle DBK\); \(\angle EFC = \angle EBC\) suy ra \(\angle DFK = \angle EFC\)
\(K,F,E\) thẳng hàng (*); \(\left\{ \begin{array}{l}PI//KF\\IQ//FE\end{array} \right.\,\,\,\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**), suy ra \(P,I,Q\) thẳng hàng (Tiên đề Ơ – clit)
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn.
+ BE là đường cao của tam giác ABC \( \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\)\( \Rightarrow \Delta AEH = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEH\) vuông tại E
\( \Rightarrow E\) thuộc đường tròn đường kính AH (1)
+ CF là đường cao của tam giác ABC
\( \Rightarrow \angle AFC = {90^0} \Rightarrow \angle AFH = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AFH\) vuông tại F
\( \Rightarrow F\) thuộc đường tròn đường kính AH (2)
Từ (1) và (2), suy ra E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
Vậy tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh: BH.BE = BF.BA
Tứ giác AEHF nội tiếp \( \Rightarrow \angle FAE = \angle FHB\) (cùng bù với \(\angle EHF\))
\( \Rightarrow \angle BAE = \angle FHB\)
Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BHF\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle ABE\,\,\,chung\\\angle BAE = \angle FHB\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BAE \sim \Delta BHF\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BH}} = \dfrac{{BE}}{{BF}}\\ \Rightarrow BH.BE = BF.BA\end{array}\)
c) Đường thẳng CF cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). Gọi P, Q, I lần lượt là các điểm đối xứng của B qua AD, AC, CD; K là giao điểm của BP và AD. Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng.
ABCD nội tiếp đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle KDB = \angle ACB\) (2 góc cùng bù với \(\angle ADB\))
Mà \(\angle DKB = \angle BEC = {90^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DKB \sim \Delta CEB\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \angle DBK = \angle EBC\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
DKBF nội tiếp \( \Rightarrow \angle DFK = \angle DBK\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
BFEC nội tiếp \( \Rightarrow \angle EFC = \angle EBC\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)
Từ (3), (4) và (5) \( \Rightarrow \angle DFK = \angle EFC\)
Mà \(\angle DFK + \angle KFC = {180^0}\)
\( \Rightarrow \angle EFC + \angle KFC = {180^0}\)
\( \Rightarrow K,F,E\) thẳng hàng (*)
Vì KF, FE lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BPI\) và \(\Delta BIQ\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PI//KF\\IQ//FE\end{array} \right.\,\,\,\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**), suy ra \(P,I,Q\) thẳng hàng (Tiên đề Ơ – clit)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
