Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt x

Câu hỏi số 587193:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 + x} \right)\).

Giá trị biểu thức \(A = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right).f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( {\dfrac{1}{4}} \right)...f\left( {\dfrac{1}{{2021}}} \right)\) được viết dưới dạng phân số \(\dfrac{p}{q}\) tối giản, \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\). Kết quả \(B = \sqrt[p]{2} + \sqrt[q]{3}\) là

A. \(B = \sqrt[{1011}]{2} + \sqrt[{2021}]{3}\).

B. \(B = \sqrt[{1010}]{2} + \sqrt[{2022}]{3}\).

C. \(B = \sqrt[{2022}]{2} + \sqrt[{2021}]{3}\).

D. \(B = \sqrt[{2021}]{2} + \sqrt[{2022}]{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587193

Phương pháp giải

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) = 1 - {x^2}\) rút gọn f(x).

- Tính A.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 + x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 + x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {x^2}\end{array}\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \dfrac{1}{{{{2021}^2}}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{3}{{{2^2}}}.\dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}.\dfrac{{3.5}}{{{4^2}}} \ldots \dfrac{{2020.2022}}{{{{2021}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2022}}{{2.2021}} = \dfrac{{1011}}{{2021}}\end{array}\)

\( \Rightarrow p = 1011,\,\,q = 2021\).

Vậy \(B = \sqrt[p]{2} + \sqrt[q]{3} = B = \sqrt[{1011}]{2} + \sqrt[{2021}]{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.