a. Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^6}{\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).b.

Câu hỏi số 587769:

Thông hiểu

a. Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^6}{\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).

b. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp, sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587769

Phương pháp giải

a. Khai triển nhị thức Newton và tính số hàng tổng quát của \({\left( {1 + x} \right)^6}{\left( {1 - {x^2}} \right)^5}\).

- Xét điều kiện để có hệ số của \({x^6}\).

- Giải điều kiện và thay vào tính hệ số của \({x^6}\).

b. Chia thành hai trường hợp: TH1: ghế thứ nhất là học sinh trường A; TH2: ghế thứ nhất là học sinh trường B.

Giải chi tiết

a. Ta có: \({\left( {1 + x} \right)^6}{\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = {\left( {1 + x} \right)^{11}}{\left( {1 - x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l{{\left( { - x} \right)}^l} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_{11}^kC_5^l{{\left( { - 1} \right)}^l}{x^{k + l}}} } } } \)

Số hạng chứa \({x^6}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le k \le 11\\0 \le l \le 5\\k + l = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left( {k;l} \right) = \left\{ {\left( {1;5} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;3} \right),\left( {4;2} \right),\left( {5;1} \right),\left( {6;0} \right)} \right\}\)

Hệ số của \({x^6}\) là \( - C_{11}^1C_5^5 + C_{11}^2C_5^4 - C_{11}^3C_5^3 + C_{11}^4C_5^2 - C_{11}^5C_5^1 + C_{11}^6 = 66\)

Vậy hệ số của \({x^6}\) là 66.

b. Xét hai trường hợp:

TH1.

Ta có: Với 4 học sinh trường A có \(4!\) cách sắp xếp.

Tương tự với 4 học sinh trường B có \(4!\) cách sắp xếp.

Như vậy có tất cả \(4!.4! = 576\) cách.

TH2.

Tương tự trường hợp 1, ta có \(576\) cách xếp.

Vậy tổng cộng có \(2.576 = 1152\) cách.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.