Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \).

Câu hỏi số 588746:

Vận dụng

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng

A. \(\dfrac{{343\pi {a^3}}}{{77}}\)

B. \(\dfrac{{435\pi {a^3}}}{{162}}\)

C. \(\dfrac{{343\pi {a^3}}}{{162}}\)

D. \(\dfrac{{32\pi {a^3}}}{{81}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:588746

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ.

Đưa về cùng cơ số, giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(x). Lập BBT hàm số f(x) và biện luận.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm tam giác đều ABC \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \angle SMA = {60^0}\).

Gọi N là trung điểm của SA, trong (SAM) kẻ \(NI \bot SA,\,\,I \in SO\), khi đó I là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Tam giác ABC đều cạnh 2a nên \(AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\\OM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).

Xét tam giác vuông SOM: \(SO = OM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\).

Xét tam giác vuông SOA có: \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\).

Dễ thấy \(\Delta SNI \sim \Delta SOA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SO}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SA.SN}}{{SO}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \dfrac{{7{a^2}}}{3}:2a = \dfrac{{7a}}{6} = R\).

Vậy thể tích khối cầu (S) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{7a}}{6}} \right)^3} = \dfrac{{343\pi {a^3}}}{{162}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.