Cho hai số thực thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2}}}(2 + 2x - 2y) = 1\). Tính \(P = x + 2y\) khi biểu thức

Câu hỏi số 588753:

Vận dụng cao

Cho hai số thực thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2}}}(2 + 2x - 2y) = 1\). Tính \(P = x + 2y\) khi biểu thức \(S = 3x - 4y\) đạt giá trị lớn nhất.

A. P = -5

B. P = -3

C. P = 8

D. P = 10

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:588753

Phương pháp giải

Đặt \(t = {\log _2}x\), đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t.

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm phân biệt.

Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

ĐK: \(2 + 2x - 2y > 0 \Leftrightarrow x - y > - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{{x^2} + {y^2}}}(2 + 2x - 2y) = 1\\ \Leftrightarrow 2 + 2x - 2y = {x^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\end{array}\)

Ta có \(S = 3x - 4y \Leftrightarrow x = \dfrac{{S + 4y}}{3}\), thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{S + 4y}}{3}} \right)^2} + {y^2} - 2.\dfrac{{S + 4y}}{3} + 2y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {S + 4y} \right)^2} + 9{y^2} - 6\left( {S + 4y} \right) + 9\left( {2y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {S^2} + 8Sy + 16{y^2} + 9{y^2} - 6S - 24y + 18y - 18 = 0\\ \Leftrightarrow 25{y^2} + \left( {8S - 6} \right)y + {S^2} - 6S - 18 = 0\end{array}\)

Phương trình này có nghiệm khi

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {4S - 3} \right)^2} - 25\left( {{S^2} - 6S - 18} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 16{S^2} - 24S + 9 - 25{S^2} + 150S + 450 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 9{S^2} + 126S + 459 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3 \le S \le 17\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\max }} = 17\)

Khi đó \(25{y^2} + 130y + 169 = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{{13}}{5}\) và \(x = \dfrac{{S + 4y}}{3} = \dfrac{{17 + 4.\dfrac{{ - 13}}{5}}}{3} = \dfrac{{11}}{5}\) (thỏa mãn).

Vậy khi S đạt giá trị lớn nhất thì \(P = x + 2y = \dfrac{{11}}{5} + 2.\dfrac{{ - 13}}{5} = - 3\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.