Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi

Câu hỏi số 589709:

Vận dụng

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).

A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\)

B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\)

C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \ln \left| {1 + \sin 2x} \right| + C\)

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \sin 2x} \right| + C\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589709

Giải chi tiết

\(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right)\)

=> Mẫu: \(2.\dfrac{1}{2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

Tử: \(1 - 2{\sin ^2}x = \cos 2x\) \( = \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\(\begin{array}{l}I = \int {\dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx} \\I = \int {\dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \end{array}\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\).

\( \Rightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)dx = dt\).

Thay: \(I = \int {\dfrac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.