Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).

Câu 589709: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2{{\sin }^2}x}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\).

A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\)

B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\)

C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \ln \left| {1 + \sin 2x} \right| + C\)

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \sin 2x} \right| + C\)

Câu hỏi : 589709

Quảng cáo

Đáp án : A
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right)\)
=> Mẫu: \(2.\dfrac{1}{2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)
Tử: \(1 - 2{\sin ^2}x = \cos 2x\) \( = \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\)
\(\begin{array}{l}I = \int {\dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dx} \\I = \int {\dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \end{array}\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\).
\( \Rightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)dx = dt\).
Thay: \(I = \int {\dfrac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.