Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^5}x\).

Câu hỏi số 589711:

Vận dụng cao

A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589711

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int {{{\tan }^5}xdx} = \int {{{\tan }^2}x.{{\tan }^2}x.\tan xdx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right){{\tan }^3}xdx} = \int {\left( {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {{\tan }^3}x} \right)dx} \\ = \underbrace {\int {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} }_A - \underbrace {\int {{{\tan }^3}x} dx}_B\end{array}\)

*) \(A = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt \(\tan x = t\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dt\).

\( \Rightarrow A = \int {{t^3}dt} = \dfrac{{{t^4}}}{4} + C = \dfrac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C\).

*) \(B = \int {{{\tan }^3}x} dx = \int {{{\tan }^2}x.\tan xdx} \)

\(\begin{array}{l} = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\tan xdx} = \int {\left( {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - \tan x} \right)dx} \\ = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\)

Vậy \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.