Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^5}x\).

Câu 589711: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^5}x\).

A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Câu hỏi : 589711

Quảng cáo

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int {{{\tan }^5}xdx} = \int {{{\tan }^2}x.{{\tan }^2}x.\tan xdx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right){{\tan }^3}xdx} = \int {\left( {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}} - {{\tan }^3}x} \right)dx} \\ = \underbrace {\int {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} }_A - \underbrace {\int {{{\tan }^3}x} dx}_B\end{array}\)
*) \(A = \int {\dfrac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
Đặt \(\tan x = t\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = dt\).
\( \Rightarrow A = \int {{t^3}dt} = \dfrac{{{t^4}}}{4} + C = \dfrac{{{{\tan }^4}x}}{4} + C\).
*) \(B = \int {{{\tan }^3}x} dx = \int {{{\tan }^2}x.\tan xdx} \)
\(\begin{array}{l} = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\tan xdx} = \int {\left( {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - \tan x} \right)dx} \\ = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\)
Vậy \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}{\tan ^4}x - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.