Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
sin A = sin B . cos C + sin C . cos B.

Câu hỏi số 590562:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

sin A = sin B . cos C + sin C . cos B.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590562

Phương pháp giải

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B\), rút sin A, sin B, sin C theo S và a, b, c.

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC: \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}},\,\,\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Theo sinB, cosB, sinC, cosC theo S, a, b, c vào vế phải, biến đổi thu được vế trái.

Giải chi tiết

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B\).

\( \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{bc}},\,\,\sin B = \dfrac{{2S}}{{ac}},\,\,\sin C = \dfrac{{2S}}{{ab}}.\)

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}VP = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2S}}{{ac}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \dfrac{{2S}}{{ab}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{S}{{{a^2}bc}}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{S}{{{a^2}bc}}.2{a^2} = \dfrac{{2S}}{{bc}} = \sin A = VT\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10