Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
sin A = sin B . cos C + sin C . cos B.

Câu hỏi số 590562:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

sin A = sin B . cos C + sin C . cos B.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:590562

Phương pháp giải

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B\), rút sin A, sin B, sin C theo S và a, b, c.

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC: \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}},\,\,\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Theo sinB, cosB, sinC, cosC theo S, a, b, c vào vế phải, biến đổi thu được vế trái.

Giải chi tiết

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B\).

\( \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{bc}},\,\,\sin B = \dfrac{{2S}}{{ac}},\,\,\sin C = \dfrac{{2S}}{{ab}}.\)

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}VP = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2S}}{{ac}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \dfrac{{2S}}{{ab}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{S}{{{a^2}bc}}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{S}{{{a^2}bc}}.2{a^2} = \dfrac{{2S}}{{bc}} = \sin A = VT\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.