Cho hàm số y = (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A,B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A,B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

Câu hỏi số 59093:

Cho hàm số y = $\frac{2x}{x-1}$ (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A,B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A,B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

A. A(3;-3), B(-1;1)

B. A(-1;1), B(3;3)

C. A(3;3), B(-1;1)

D. cả B và C

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:59093

Giải chi tiết

a. Khảo sát

TXĐ : D = R \{1}

Ta có: $\lim_{x\rightarrow -\infty }$ y= $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ y= 2 suy ra đường y = 2 là tiệm cận ngang

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}$ = +∞, $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}$ y = -∞ suy ra đường x =1 là tiệm cận đứng.

Ta có : y' = - $\frac{2}{(x-1)^{2}}$ < 0, với mọi x ≠ 1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao với Ox tại điểm O(0,0)

Đồ thị hàm số nhận I (1;2) làm tâm đối xứng.

Vì A,B thuộc đồ thị hàm số nên A(a; $\frac{2a}{a-1}$ ), B(b; $\frac{2b}{b-1}$ ), (a ≠ b), a ≠1, b ≠1i

Tiếp tuyến tại A,B có hệ số góc lần lượt là: f '(a) = - $\frac{2}{(a-1)^{2}}$ , f '(b) = - $\frac{2}{(b-1)^{2}}$

Do tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B song song với nhau nên:

ta có f'(a) = f'(b) <=> - $\frac{2}{(a-1)^{2}}$ = - $\frac{2}{(b-1)^{2}}$ <=> (a-1)² = (b-1)²<=> $\begin{bmatrix} a=b(l)\\ a+b=2 \end{matrix}$

Lại có $OA\perp OB$ => $\overrightarrow{OA}$ . $\overrightarrow{OB}$ = 0 <=> ab + $\frac{4ab}{(a-1)(b-1)}$ = 0 <=> $\begin{bmatrix} ab=0\\ \frac{4}{(a-1)(b-1)}=-1 \end{matrix}$

TH1) nếu ab=0 loại (vì nếu ab=0 thì A trùng O hoặc B trùng O)

TH2) $\frac{4ab}{(a-1)(b-1)}$ = -1 kết hợp a+b =2 suy ra : $\begin{bmatrix} a=-1, b=3\\ a=3, b=-1 \end{matrix}$ => A(-1;1), B(3;3) hoặc A(3;3), B(-1;1)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.