Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x{\cos ^2}x\).

Câu 593943: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x{\cos ^2}x\).

A. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

B. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

C. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{9}\sin 3x + C.\)

D. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

Câu hỏi : 593943

Quảng cáo

Đáp án : B
(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(I = \int {x\sin x{{\cos }^2}xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\sin x{\cos ^2}x = dv\end{array} \right.\)
Tính \(\int {\sin x{{\cos }^2}xdx} \)
Đặt \(\cos x = t \Rightarrow \sin xdx = - dt\).
\( \Rightarrow \int {\sin x{{\cos }^2}xdx} = \int {{t^2}\left( { - dt} \right)} = - \dfrac{1}{3}{t^3} + C = - \dfrac{1}{3}{\cos ^3}x + C\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\sin x{\cos ^2}x = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{3}{\cos ^3}x = v\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \dfrac{{ - x}}{3}{\cos ^3}x + \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^3}xdx} \).
Tính \(A = \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^3}xdx} = \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^2}x.\cos xdx} \)
\( = \int {\dfrac{1}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx} \)
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \int {\dfrac{1}{3}\left( {1 - {t^2}} \right)dt} = \dfrac{1}{3}\left( {t - \dfrac{1}{3}{t^3}} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}{\sin ^3}x + C\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{{ - x}}{3}{\cos ^3}x + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}{\sin ^3}x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x}}{3}.\dfrac{{3\cos x + \cos 3x}}{4} + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}\dfrac{{3\sin x - \sin 3x}}{4} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x}}{{12}}.\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\left( {3\sin x - \sin 3x} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{x}{{12}}.\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.