Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x{\cos ^2}x\).

Câu hỏi số 593943:

Vận dụng

A. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

B. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

C. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{9}\sin 3x + C.\)

D. \(F\left( x \right) = - \dfrac{x}{{12}}\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:593943

Giải chi tiết

\(I = \int {x\sin x{{\cos }^2}xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\sin x{\cos ^2}x = dv\end{array} \right.\)

Tính \(\int {\sin x{{\cos }^2}xdx} \)

Đặt \(\cos x = t \Rightarrow \sin xdx = - dt\).

\( \Rightarrow \int {\sin x{{\cos }^2}xdx} = \int {{t^2}\left( { - dt} \right)} = - \dfrac{1}{3}{t^3} + C = - \dfrac{1}{3}{\cos ^3}x + C\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = u \Rightarrow dx = du\\\sin x{\cos ^2}x = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{3}{\cos ^3}x = v\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \dfrac{{ - x}}{3}{\cos ^3}x + \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^3}xdx} \).

Tính \(A = \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^3}xdx} = \int {\dfrac{1}{3}{{\cos }^2}x.\cos xdx} \)

\( = \int {\dfrac{1}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx} \)

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \int {\dfrac{1}{3}\left( {1 - {t^2}} \right)dt} = \dfrac{1}{3}\left( {t - \dfrac{1}{3}{t^3}} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}{\sin ^3}x + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{{ - x}}{3}{\cos ^3}x + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}{\sin ^3}x + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x}}{3}.\dfrac{{3\cos x + \cos 3x}}{4} + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{9}\dfrac{{3\sin x - \sin 3x}}{4} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x}}{{12}}.\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{3}\sin x - \dfrac{1}{{36}}\left( {3\sin x - \sin 3x} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{x}{{12}}.\left( {3\cos x + \cos 3x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{{36}}\sin 3x + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.