Cho \(\Delta MND\) cân tại \(M.\) Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NP.\) Trên tia đối của

Câu hỏi số 594385:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta MND\) cân tại \(M.\) Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NP.\) Trên tia đối của tia \(NP\) lấy điểm \(E\) và trên tia đối của tia \(PN\) lấy điểm \(F\) sao cho \(NE = PF.\)

a) Chứng minh rằng \(ME = MF.\)

b) Lấy điểm \(I\) bên trong \(\Delta MNP\) sao cho \(IN = IP.\) Chứng minh \(M,\,I,\,D\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594385

Phương pháp giải

- Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra các cặp cạnh/cặp góc tương ứng bằng nhau và chứng minh bài toán.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\Delta MNP\) cân tại \(M\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = MP\\\angle MNP = \angle MPN\end{array} \right.\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MNE + \angle MNP = {180^0}\\\angle MPF + \angle MPN = {180^0}\end{array} \right.\) (kề bù)

\( \Rightarrow \angle MNE = \angle MPF\)

Xét \(\Delta MNE\) và \(\Delta MPF\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MN = MP\,\left( {cmt} \right)\\\angle MNE = \angle MPF\,\left( {cmt} \right)\\EN = PF\,\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MNE = \Delta MPF\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow ME = MF\) (hai cạnh tương ứng)

b) Vì \(D\) là trung điểm \(NP \Rightarrow DN = DP\) (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta MND\) và \(\Delta MPD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MN = MP\,\,\left( {cmt} \right)\\MD\,\,\,chung\\DN = DP\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MND = \Delta MPD\,\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle NMD = \angle PMD\) (hai góc tương ứng) \( \Rightarrow MD\) là tia phân giác của \(\angle NMP\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta MIN\) và \(\Delta MIP\) có:

\(\left. \begin{array}{l}MN = MP\,\left( {cmt} \right)\\MI\,\,chung\\IN = IP\,\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MIN = \Delta MIP\,\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle NMI = \angle PMI\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow MI\) là tia phân giác của góc \(\angle NMP\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(M,\,I,\,D\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link