Tìm \(x,y,z\) biết: a) \(x:y:z = 2:3:4\) và \({x^2} - {y^2} + 2{z^2} = 108\) b) \(x:y:z = 3:4:5\) và \(2{x^2} +

Câu hỏi số 595342:

Vận dụng

Tìm \(x,y,z\) biết:

a) \(x:y:z = 2:3:4\) và \({x^2} - {y^2} + 2{z^2} = 108\)

b) \(x:y:z = 3:4:5\) và \(2{x^2} + 2{y^2} - 3{z^2} = - 100\)

c) \(x:y:z = 3:7:5\) và \({x^2} - {y^2} + {z^2} = - 60\)

d) \(4x:4y:4z = 8:64:216\) và \(2{x^2} + 2{y^2} - {z^2} = - 599\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595342

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = ka\\y = kb\\z = kc\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức ta có:\(ka + kb + kc = d \Rightarrow k\left( {a + b + c} \right) = d \Rightarrow k = \dfrac{d}{{a + b + c}}\)

Từ đó ta tìm được: \(x = \dfrac{{ad}}{{a + b + c}};y = \dfrac{{bd}}{{a + b + c}};z = \dfrac{{cd}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết

a) \(x:y:z = 2:3:4\) và \({x^2} - {y^2} + 2{z^2} = 108\)

Ta có: \(x:y:z = 2:3:4 \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2k;y = 3k;z = 4k\) vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2k} \right)^2} - {\left( {3k} \right)^2} + 2.{\left( {4k} \right)^2} = 108\\\;\;\;\;\;\;\;\;\,4{k^2} - 9{k^2} + 32{k^2} = 108\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,27{k^2} = 108\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{k^2} = 4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,k = \pm 2\end{array}\)

Với \(k = 2 \Rightarrow x = 4;y = 6;z = 8\)

Với \(k = - 2 \Rightarrow x = - 4;y = - 6;z = - 8\)

b) \(x:y:z = 3:4:5\) và \(2{x^2} + 2{y^2} - 3{z^2} = - 100\)

Ta có: \(x:y:z = 3:4:5 \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3k\\y = 4k\\z = 5k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 3k;y = 4k;z = 5k\) vào biểu thức ta được:

\(\begin{array}{l}2.{\left( {3k} \right)^2} + 2.{\left( {4k} \right)^2} - 3.{\left( {5k} \right)^2} = - 100\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,18{k^2} + 32{k^2} - 75{k^2} = - 100\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, - 25{k^2} = - 100\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k^2} = 4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k = \pm 2\end{array}\)

Với \(k = 2 \Rightarrow x = 6;y = 8;z = 10\)

Với \(k = - 2 \Rightarrow x = - 6;y = - 8;z = - 10\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 6; - 8; - 10} \right),\left( {6,8,10} \right)} \right\}\)

c) \(x:y:z = 3:7:5\) và \({x^2} - {y^2} + {z^2} = - 60\)

Ta có: \(x:y:z = 3:7:5 \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{5}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{5} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3k\\y = 7k\\z = 5k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 3k;y = 7k;z = 5k\) vào biểu thức, ta được

\(\begin{array}{l}{\left( {3k} \right)^2} - {\left( {7k} \right)^2} + {\left( {5k} \right)^2} = - 60\\\;\;\;\;9{k^2} - 49{k^2} + 25{k^2} = - 60\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 15{k^2} = - 60\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k^2} = 4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k = \pm 2\end{array}\)

Với \(k = 2 \Rightarrow x = 6;y = 14;z = 10\)

Với \(k = - 2 \Rightarrow x = - 6;y = - 14;z = - 10\)

Vậy \(\left( {x,y,z} \right) \in \left\{ {\left( { - 6; - 14; - 10} \right),\left( {6;14;10} \right)} \right\}\)

d) \(4x:4y:4z = 8:64:216\) và \(2{x^2} + 2{y^2} - {z^2} = - 719\)

Ta có: \(4x:4y:4z = 8:64:216 \Rightarrow \dfrac{{4x}}{8} = \dfrac{{4y}}{{64}} = \dfrac{{4z}}{{216}} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{54}}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{54}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 16k\\z = 54k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2k;y = 16k;z = 54k\) vào biểu thức, ta được:

d) \(4x:4y:4z = 8:64:216\) và \(2{x^2} + 2{y^2} - {z^2} = - 599\)

Ta có: \(4x:4y:4z = 8:64:216 \Rightarrow \dfrac{{4x}}{8} = \dfrac{{4y}}{{64}} = \dfrac{{4z}}{{216}} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{54}}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{54}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 16k\\z = 54k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2k;y = 16k;z = 54k\) vào biểu thức, ta được:

\(2{\left( {2k} \right)^2} + 2.{\left( {16k} \right)^2} - {\left( {54k} \right)^2} = - 599\)

\(\\\;\;\;\;\;\;\;\;8{k^2} + 512{k^2} - 2916{k^2} = - 599\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2396{k^2} = - 599\)

\(\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{k^2} = \dfrac{1}{4}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \,= \pm \dfrac{1}{2}\)

Với \(k = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 1;y = 8;z = 27\)

Với \(k = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = - 1;y = - 8;z = - 27\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 8; - 27} \right),\left( {1;8;27} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link