Tìm \(x,y,z\) biết: a) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}}\) và \({x^2} + {y^2} +

Câu hỏi số 595347:

Vận dụng

Tìm \(x,y,z\) biết:

a) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}}\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)

b) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{z^3}}}{{64}}\) và \({x^2} - 2{y^2} - 3{z^2} = - 5022\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595347

Phương pháp giải

Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{e}{f}} \right)^3} = \dfrac{{ace}}{{bdf}}\)

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = ka\\y = kb\\z = kc\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức ta có:\(ka + kb + kc = d \Rightarrow k\left( {a + b + c} \right) = d \Rightarrow k = \dfrac{d}{{a + b + c}}\)

Từ đó ta tìm được: \(x = \dfrac{{ad}}{{a + b + c}};y = \dfrac{{bd}}{{a + b + c}};z = \dfrac{{cd}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}}\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{x^3}}}{{{2^3}}} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3};\;\;\dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{y^3}}}{{{4^3}}} = {\left( {\dfrac{y}{4}} \right)^3};\;\;\dfrac{{{z^3}}}{{216}} = \dfrac{{{z^3}}}{{{6^3}}} = {\left( {\dfrac{z}{6}} \right)^3}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{y}{4}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{z}{6}} \right)^3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}\end{array}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 4k\\z = 6k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2k;y = 4k;z = 6k\) vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} + {\left( {6k} \right)^2} = 14\\\;\;\;\;4{k^2} + 16{k^2} + 36{k^2} = 14\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,56{k^2} = 14\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k^2} = \dfrac{1}{4}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k = \pm \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Với \(k = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 1;y = 2;z = 3\)

Với \(k = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = - 1;y = - 2;z = - 3\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 2; - 3} \right),\left( {1;2;3} \right)} \right\}\)

b) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{z^3}}}{{64}}\) và \({x^2} - 2{y^2} - 3{z^2} = - 5022\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{x^3}}}{{{2^3}}} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3};\;\;\dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{y^3}}}{{{3^3}}} = {\left( {\dfrac{y}{3}} \right)^3};\;\;\dfrac{{{z^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{{4^3}}} = {\left( {\dfrac{z}{4}} \right)^3}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{y}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{z}{4}} \right)^3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\end{array}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2k;y = 3k;z = 4k\) vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2k} \right)^2} - 2.{\left( {3k} \right)^2} - 3{\left( {4k} \right)^2} = - 5022\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;4{k^2} - 18{k^2} - 48{k^2} = - 5022\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 62{k^2} = - 5022\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{k^2} = 81\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,k = \pm 9\end{array}\)

Với \(k = 9 \Rightarrow x = 18;y = 27;z = 36\)

Với \(k = - 9 \Rightarrow x = - 18;y = - 27;z = - 36\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 18; - 27; - 36} \right),\left( {18;27;36} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link