Cho \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\). Tìm các số thực \(x,y,z \ne 0\) thoả mãn: \(\dfrac{{xy}}{{ay +

Câu hỏi số 595349:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\). Tìm các số thực \(x,y,z \ne 0\) thoả mãn:

\(\dfrac{{xy}}{{ay + bx}} = \dfrac{{yz}}{{bz + cy}} = \dfrac{{zx}}{{cx + az}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595349

Phương pháp giải

Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{e}{f}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{{e^2}}}{{{f^2}}}\)

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

Tính chất cơ bản: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{xy}}{{ay + bx}} = \dfrac{{xyz}}{{ayz + bxz}};\;\;\;\dfrac{{yz}}{{bz + cy}} = \dfrac{{xyz}}{{bxz + cxy}};\;\;\dfrac{{zx}}{{cx + az}} = \dfrac{{xyz}}{{cxy + ayz}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{xyz}}{{ayz + bxz}} = \dfrac{{xyz}}{{bxz + cxy}} = \dfrac{{xyz}}{{cxy + ayz}}\\ \Rightarrow ayz + bxz = bxz + cxy = cxy + ayz\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ayz + bxz = bxz + cxy\\bxz + cxy = cxy + ayz\\ayz + bxz = cxy + ayz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ayz = cxy\\bxz = ayz\\bxz = cxy\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}az = cx\\bz = cy\\bx = ay\end{array} \right.\end{array}\)

Thay vào đề bài ta được:

\(\dfrac{{xy}}{{ay + ay}} = \dfrac{{yz}}{{bz + bz}} = \dfrac{{zx}}{{cx + cx}} = \dfrac{{xy}}{{2ay}} = \dfrac{{yz}}{{2bz}} = \dfrac{{zx}}{{2cx}} = \dfrac{x}{{2a}} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{2c}}\)

\(\dfrac{x}{{2a}} = \dfrac{y}{{2b}} = \dfrac{z}{{2c}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{y}{{2b}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{z}{{2c}}} \right)^2} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{4{b^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{4{c^2}}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{4{b^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{4{c^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{4{a^2}}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{xy}}{{ay + bx}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{x}{{2a}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{x}{{2a}} \Leftrightarrow x = 2a\)

Tương tự ta tìm được \(y = 2b,z = 2c\)

Vậy \(x = 2a,y = 2b,z = 2c\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link