Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 - 2MB2

Câu hỏi số 5954:

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(-1; 3; -2) , B(-3; 7; -18), C(1; -2; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA² - 2MB² – 3MC² có giá trị lớn nhất.

A. M( $\frac{5}{2}$ ; $-\frac{1}{4}$ ; $-\frac{25}{4}$ ).

B. M( $\frac{5}{2}$ ; $-\frac{1}{4}$ ; $-\frac{5}{4}$ ).

C. M( $\frac{5}{2}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $-\frac{25}{4}$ ).

D. M( $\frac{5}{2}$ ; $\frac{1}{4}$ ; $-\frac{25}{4}$ ).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5954

Giải chi tiết

Tìm I (x₀; y₀; z₀) sao cho $\overrightarrow{IA}$ - 2 $\overrightarrow{IB}$ - 3 $\overrightarrow{IC}$ = $\overrightarrow{0}$ . Ta có:

$\overrightarrow{IA}$ = (1 – x₀; 3 – y₀; -2 – z₀)

$\overrightarrow{IB}$ = (-3 – x₀; 7 – y₀; -18 – z₀)

$\overrightarrow{IC}$ = (1 – x₀; -2 – y₀; 1 – z₀)

Do đó $\overrightarrow{IA}$ - 2 $\overrightarrow{IB}$ - 3 $\overrightarrow{IC}$ = $\overrightarrow{0}$ .

⇔ $\left\{\begin{matrix} -1-x_{0}+6+2x_{0}-3+3x_{0}=0\\3-y_{0}-14+22y_{0}+6+3y_{0}=0 \\-2-z_{0}+36+2z_{0}-3+3z_{0}=0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x_{0}=-\frac{1}{2}\\y_{0}=\frac{5}{4} \\z_{0}=-\frac{31}{4} \end{matrix}\right.$

=> I( $-\frac{1}{2}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $-\frac{31}{4}$ )

Ta có: MA² - 2MB² – 3MC² = ( $\overrightarrow{MI}$ + $\overrightarrow{IA}$ )² - 2( $\overrightarrow{MI}$ + $\overrightarrow{IB}$ )² - 3( $\overrightarrow{MI}$ + $\overrightarrow{IC}$ )²

= -4MI² + Q (Q = IA² -2IB² – 3IC²).

Vậy P lớn nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là chân đường vuông góc từ I xuống mặt phẳng (P). Lại có $\overrightarrow{n_{P}}$ = (2; -1; 1) nên đường qua I vuông góc (P) có phương trình là:

$\left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4}+t \end{matrix}\right.$

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\2x-y+z+1=0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}+2t\\y=\frac{5}{4}-t \\z=-\frac{31}{4} \\-1+4t-\frac{5}{4}+t-\frac{31}{4}+t+1=0 \end{matrix}\right.$

⇔ t = $\frac{3}{2}$ => M( $\frac{5}{2}$ ; $-\frac{1}{4}$ ; $-\frac{25}{4}$ ).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.