Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 1 = 0\,\,(m\) là tham số) a) Tìm m để

Câu hỏi số 596489:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 1 = 0\,\,(m\) là tham số)

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -3, tìm nghiệm còn lại.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596489

Phương pháp giải

a) x = - 3 là nghiệm của phương trình, thay vào phương trình tìm m

Thay m vừa tìm được vào phương trình, ta tìm được nghiệm x còn lại

b) Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

Giải chi tiết

a) Với \(x = - 3\) thay vào phương trình ta được:

\({\left( { - 3} \right)^2} + 2\left( {m + 1} \right).\left( { - 3} \right) + 2m + 1 = 0\)

\(9 - 6m - 6 + 2m + 1 = 0\)

\( - 4m + 4 = 0\)

\( - 4m = - 4\)

\(m = 1\)

Với \(m = 1\), thay vào phương trình ta được:

\({x^2} + 2\left( {1 + 1} \right)x + 2.1 + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 3 = 0\)

Ta có: \(1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2} = - 3\)

Vậy \(m = 1\) và nghiệm còn lại của phương trình là \(x = - 1\).

b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {2m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 2m - 1 = {m^2}\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \({m^2} \ge 0\) (đúng với mọi m).

Khi đó, theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Theo giả thiết:

\(x_1^2 + x_2^2 = 2\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 2\)

\(4{(m + 1)^2} - 2\left( {2m + 1} \right) - 2 = 0\)

\(2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 2m - 1 - 1 = 0\)

\(2{m^2} + 4m + 2 - 2m - 2 = 0\)

\(2{m^2} + 2m = 0\)

\(2m\left( {m + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(m = 0\) và \(m = - 1\)

Vậy \(m = 0;\,\,{\mkern 1mu} m = - 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link