Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AE, BF và CN cắt nhau tại H \(\left( {E \in BC,F \in AC,N \in
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AE, BF và CN cắt nhau tại H \(\left( {E \in BC,F \in AC,N \in AB} \right)\).
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M. Chứng minh BM = BN.
c) Biết AH = BC. Tính số đo góc A của tam giác ABC.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) Góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
Ta có:
\(HF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HFC = {90^0}\)
\(HE \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HEC = {90^0}\)
Xét tứ giác CEHF có: \(\angle HFC + \angle HEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này ở đối nhau
\( \Rightarrow CEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M. Chứng minh BM = BN.
Ta có:
\(HN \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ANH = {90^0}\)
\(HF \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AFH = {90^0}\)
Xét tứ giác AFHN có: \(\angle ANH + \angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow AFHN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle NAH = \angle NFH\) (2 góc nội tiếp cùn chắn cung HN) (1)
Tứ giác HECF nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \angle HFE = \angle HCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) (2)
Ta có: \(\angle BAE = \angle NCB\) (hai góc cùng phụ với \(\angle ABC\)) \( \Rightarrow \angle NAH = \angle HCE\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle NFH = \angle HFE\) hay \(\angle NFB = \angle BFM\)
Xét (O) có: \(\angle NFB = \angle BFM\)
\( \Rightarrow sdcungBN = sdcungBM\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)
\( \Rightarrow BN = BM\) (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) (đpcm).
c) Biết AH = BC. Tính số đo góc A của tam giác ABC.
Tứ giác CEHF nội tiếp (Giải Câu a) \( \Rightarrow \angle AHF = \angle ACB\)
Xét tam giác AFH vuông tại H và tam giác BFC vuông tại F có:
\(\begin{array}{l}AH = \dfrac{{AF}}{{\sin \angle AHF}} = BF.\dfrac{{\cot \angle BAC}}{{\sin \angle ACB}} = BC.\cot \angle BAC\\AH = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \cot \angle BAC = 1 \Rightarrow \angle BAC = {45^0}\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
