Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\,\,\left( {AC < BC} \right)\), đường cao \(CK\) và đường phân giác
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\,\,\left( {AC < BC} \right)\), đường cao \(CK\) và đường phân giác trong \(BD\) \(\left( {K \in AB,D \in AC} \right)\). Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(CK,{\rm{ }}AB\) lần lượt tại \(H\) và \(I\).
a) Chứng minh tứ giác \(CDKI\)là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh \(AD.AC = DH.AB\)
c) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AD\). Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(ID\) cắt \(BC\) tại \(M\) (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh \(B,N,F\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta ABC \sim \Delta HCD\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{AC}}{{DH}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(BD\) là đường phân giác của góc \(\angle ABC\) (gt) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\)
\( \Rightarrow AD.AC = DH.AB\)
c) Gọi giao điểm của BN và AD là F’
Giao điểm của AB và (I) là Q
Chứng minh \(F' \equiv F\)\( \Rightarrow B,N,F\) thẳng hàng
a) Chứng minh tứ giác \(CDKI\)là tứ giác nội tiếp
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}DI \bot CD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle IDC = {90^0}\\CK \bot KI\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle IKC = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \angle IDC = \angle IKC = {90^0}\), mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CI
\( \Rightarrow CDKI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Chứng minh \(AD.AC = DH.AB\)
Ta có \(\angle HCD = \angle ABC\) (cùng phụ góc \(\angle KCB\))
Xét tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta HCD\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle HCD = \angle ABC\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ACB = \angle HDC = {90^0}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HCD\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{AC}}{{DH}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
Mà \(BD\) là đường phân giác của góc \(\angle ABC\) (gt) \( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DH}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AD.AC = DH.AB\)(đpcm)
c) Gọi \(F\) là trung điểm của \(AD\). Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(ID\) cắt \(BC\) tại \(M\) (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh \(B,N,F\) thẳng hàng.
Gọi giao điểm của BN và AD là F’
Giao điểm của AB và (I) là Q
Vì ID//BC nên \(\angle IDB = \angle DBC\) (hai góc ở vị trí so le trong)
Mà \(\angle IDB = \angle DBC\) (vì BD là đường phân giác)
\( \Rightarrow \angle IDB = \angle IBD\)
\( \Rightarrow \Delta IDB\) cân tại I
\(\begin{array}{l} \Rightarrow IB = ID\\ \Rightarrow B \in \left( I \right)\end{array}\)
Ta có tứ giác MNQB nội tiếp \( \Rightarrow \angle NMQ = \angle NBQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NQ) (3)
Xét (I) có: \(\angle QMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow QM \bot CB\)
Mà \(AC \bot CB(\Delta ABC\) vuông tại C)
\( \Rightarrow QM//AC \Rightarrow \angle NMQ = \angle F'AM\) (hai góc so le trong) (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(\angle NBQ = \angle F'AM\)
Xét \(\Delta F'AN\) và \(\Delta F'BA\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle F'AM = \angle NBQ\left( {cmt} \right)\\\angle AF'B\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta F'AN \sim \Delta F'BA\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{F'A}}{{F'B}} = \dfrac{{F'N}}{{F'A}}\\ \Rightarrow F'{A^2} = F'N.F'B\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Vì \(ID \bot F'D\) nên \(F'D\) là tiếp tuyến tại D của (I)
\( \Rightarrow \angle F'DN = \angle F'BD\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung DN)
Xét \(\Delta F'DN\) và \(\Delta F'BD\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle F'DN = \angle F'BD\left( {g.g} \right)\\\angle DF'B\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta F'DN \sim \Delta F'BD\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{F'D}}{{F'B}} = \dfrac{{F'N}}{{F'D}}\\ \Rightarrow F'{D^2} = F'N.F'B\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Từ (*) và (**) suy ra \(F'{A^2} = F'{D^2} \Rightarrow F'A = F'D\)
\( \Rightarrow F'\) là trung điểm của AD
\( \Rightarrow F' \equiv F\)
\( \Rightarrow B,N,F\) thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
