Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 1} + 3 = \left( {\dfrac{1}{x} - 3} \right)\left( {\sqrt {9{x^2} - 6x +

Câu hỏi số 596532:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 1} + 3 = \left( {\dfrac{1}{x} - 3} \right)\left( {\sqrt {9{x^2} - 6x + 2} + 3} \right)\) (1)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596532

Phương pháp giải

Xác định điều kiện của phương trình

Đánh giá từng vế của phương trình và giải phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

Ta có: VT \( = \sqrt {{x^2} + 1} + 3 > 0\) với mọi \(x\) \( \Rightarrow \,VP > 0\)

\( \Rightarrow \left( {\dfrac{1}{x} - 3} \right)\left( {\sqrt {9{x^2} - 6x + 2} + 3} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{x} - 3} \right)\left( {\sqrt {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} + 1} + 3} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - 3 > 0\) (vì \(\sqrt {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} + 1} + 3 > 0\,\forall x\))

\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 3x}}{x} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \dfrac{1}{3}\)

(1) \( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 3} \right) = \left( {1 - 3x} \right)\left[ {\sqrt {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} + 1} + 3} \right]\) (2)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x\,\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\\b = 1 - 3x\,\left( {b > 0} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình (2) trở thành:

\(a\left( {\sqrt {{a^2} + 1} + 3} \right) = b\left( {\sqrt {{b^2} + 1} + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + 1} - b\sqrt {{b^2} + 1} + 3a - 3b = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^4} + {a^2} - {b^4} - {b^2}}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\) (vì \(\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} + 1} + b\sqrt {{b^2} + 1} }} + 3 > 0\) với \(a,b > 0\))

Khi đó \(x = 1 - 3x \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\) (tmđk)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link