\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\tan }^4}x}}{{\cos 2x}}dx} \).

Câu hỏi số 596893:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596893

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\tan }^4}x}}{{\cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\tan }^4}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\tan }^4}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{{{\tan }^4}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}dx} \end{array}\)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}} {\dfrac{{{t^4}}}{{1 - {t^2}}}dt} = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}} {\dfrac{{ - 1 + {t^4} + 1}}{{1 - {t^2}}}dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}} {\dfrac{{ - \left( {1 - {t^2}} \right)\left( {1 + {t^2}} \right) + 1}}{{1 - {t^2}}}dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}} {\left( { - 1 - {t^2} + \dfrac{1}{{\left( {1 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}}} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}} {\left( { - 1 - {t^2} + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - t - \dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 - t} \right| + \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + t} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{3} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{{10\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{2}{3}.\end{array}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.