\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \sin

Câu hỏi số 596894:

Vận dụng cao

\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \sin x + \cos x} \right)}}dx} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596894

Giải chi tiết

\( + )\,\,\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 \sin x - \sqrt 2 \cos x}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sqrt 2 \sin x - \sqrt 2 \cos x}}{{2\sin 2x + 4 + 4\sin x + 4\cos x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{4\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{{\cos x + 1}} - \dfrac{1}{{\sin x + 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \underbrace {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{\cos x + 1}}dx} }_A - \underbrace {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{\sin x + 1}}dx} }_B\end{array}\)

\( + )\,\,A = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{\cos x + 1}}dx} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}}} + 1}}dx} \)

Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow dt = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}dx \Leftrightarrow dt = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = \tan \dfrac{\pi }{8}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\tan \frac{\pi }{8}} {\dfrac{1}{{\dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 1}}.\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\int\limits_0^{\tan \frac{\pi }{8}} {\dfrac{1}{1}dt} = \left. {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}t} \right|_0^{\tan \frac{\pi }{8}}\end{array}\)

Làm tương tự A nhưng \(\sin x = \dfrac{{2\tan \dfrac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}}}\).

Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2}\) \( \Rightarrow B = \left. {\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{ - 2}}{{t + 1}}} \right|_0^{\tan \frac{\pi }{8}}\).

Vậy\(I = A - B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\left. {\left( {t + \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)} \right|_0^{\tan \frac{\pi }{8}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\tan \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{2}{{\tan \dfrac{\pi }{8} + 1}} - 2} \right)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.