\(I = \int\limits_1^e {{x^3}{{\ln }^2}xdx} \).

Câu hỏi số 596904:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596904

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = du\\{x^3}dx = dv \Rightarrow \dfrac{{{x^4}}}{4} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{4}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x}}{x}.\dfrac{{{x^4}}}{4}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{e^2}}}{4} - \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^3}\ln x}}{2}dx} \end{array}\)

\( + )\,\,A = \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^3}\ln x}}{2}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = du\\\dfrac{1}{2}{x^3}dx = dv \Rightarrow \dfrac{{{x^4}}}{8} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{8}\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^4}}}{8}.\dfrac{1}{x}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{e^4}}}{8} - \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^3}}}{8}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{e^4}}}{8} - \left. {\dfrac{{{e^4}}}{{32}}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^4}}}{8} - \dfrac{{{e^4}}}{{32}} + \dfrac{1}{{32}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{e^4}}}{{32}} + \dfrac{1}{{32}}\end{array}\)

Vậy \(I = \dfrac{{{e^4}}}{4} - \left( {\dfrac{{3{e^4}}}{{32}} + \dfrac{1}{{32}}} \right) = \dfrac{{5{e^4} - 1}}{{32}}.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.