Tìm \(x,y,z\) biết:a) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{3}\) và \({x^2} + {y^2} - {z^2} =

Câu hỏi số 597192:

Thông hiểu

Tìm \(x,y,z\) biết:

a) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{3}\) và \({x^2} + {y^2} - {z^2} = 585\)

b) \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) và \(5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594\)

c) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}}\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)

d) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{z^3}}}{{64}}\) và \({x^2} + 2{y^2} - 3{z^2} = - 650\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597192

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = ka\\y = kb\\z = kc\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức ta được:

\(ka + kb + kc = d \Rightarrow k\left( {a + b + c} \right) = d \Rightarrow k = \dfrac{d}{{a + b + c}}\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{{ad}}{{a + b + c}};\;\;\;y = \dfrac{{bd}}{{a + b + c}};\;\;\;z = \dfrac{{cd}}{{a + b + c}}\)

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{3}\) và \({x^2} + {y^2} - {z^2} = 585\)

Đặt \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{3} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5k\\y = 7k\\z = 3k\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức, ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {5k} \right)^2} + {\left( {7k} \right)^2} - {\left( {3k} \right)^2} = 585\\\;\;\;\,25{k^2} + 49{k^2} - 9{k^2} = 585\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,65{k^2} = 585\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,{k^2} = 9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k = \pm 3\end{array}\)

Với \(k = 3 \Rightarrow x = 15;y = 21;z = 9\)

Với \(k = - 3 \Rightarrow x = - 15;y = - 21;z = - 9\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 15; - 21; - 9} \right),\left( {15;21;9} \right)} \right\}\)

b) \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) và \(5{z^2} - 3{x^2} - 2{y^2} = 594\)

Đặt \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3k\\y = 4k\\z = 5k\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức, ta có:

\(\begin{array}{l}5.{\left( {5k} \right)^2} - 3{\left( {3k} \right)^2} - 2.{\left( {4k} \right)^2} = 594\\\;\;\;\;\;\;\;\;125{k^2} - 27{k^2} - 32{k^2} = 594\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;66{k^2} = 594\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{k^2} = \pm 3\end{array}\)

Với \(k = 3 \Rightarrow x = 9;y = 12;z = 15\)

Với \(k = - 3 \Rightarrow x = - 9;y = - 12;z = - 15\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 9; - 12; - 15} \right),\left( {9;12;15} \right)} \right\}\)

c) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}}\) và \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)

Ta có:

\(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{64}} = \dfrac{{{z^3}}}{{216}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{y}{4}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{z}{6}} \right)^3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 4k\\z = 6k\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức, ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} + {\left( {6k} \right)^2} = 14\\\;\;\;\;\;\,\,{k^2} + 16{k^2} + 36{k^2} = 14\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;56{k^2} = 14\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{k^2} = \dfrac{1}{4}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,k = \pm \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Với \(k = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 1;y = 2;z = 3\)

Với \(k = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = - 1;y = - 2;z = - 3\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 2; - 3} \right),\left( {1;2;3} \right)} \right\}\)

d) \(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{z^3}}}{{64}}\) và \({x^2} + 2{y^2} - 3{z^2} = - 650\)

Ta có:

\(\dfrac{{{x^3}}}{8} = \dfrac{{{y^3}}}{{27}} = \dfrac{{{z^3}}}{{64}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{y}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{z}{4}} \right)^3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\y = 3k\\z = 4k\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2k} \right)^2} + 2{\left( {3k} \right)^2} - 3{\left( {4k} \right)^2} = - 650\\\;\;\;\;\;\;\;\;\,4{k^2} + 18{k^2} - 48{k^2} = - 650\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, - 26{k^2} = - 650\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,{k^2} = 25\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,k = \pm 5\end{array}\)

Với \(k = 5 \Rightarrow x = 10;y = 15;z = 20\)

Với \(k = - 5 \Rightarrow x = - 10;y = - 15;z = - 20\)

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 10; - 15; - 20} \right),\left( {10;15;20} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link