Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = lnf(x) có bảng biến thiênDiện tích hình

Câu hỏi số 597787:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = lnf(x) có bảng biến thiên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f’(x) và y = g’(x) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (33;35).

B. (37;40).

C. (29;32).

D. (24;26).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597787

Giải chi tiết

Từ bảng biến thiên hàm số \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) ta có \(\ln f\left( x \right) \ge \ln 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\).

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là

\(A\left( {{x_1};\,\ln 30} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\ln 35} \right),\,\,C\left( {{x_3};\,\ln 3} \right)\)

Nên \(f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = f'\left( {{x_3}} \right) = 0\) và \(f\left( {{x_1}} \right) = 30,\,\,f\left( {{x_2}} \right) = 35,\,\,f\left( {{x_3}} \right) = 3\).

Do \(y = f'\left( x \right)\) là hàm số bậc 3 nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(f'\left( x \right)\) và \(g'\left( x \right)\) ta có

\(f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 1\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\)là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {g'\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \\\,\,\,\, = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \\\,\,\,\, = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {f'\left( x \right).\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} \\\,\,\,\, = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f'\left( x \right).\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f'\left( x \right).\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} \end{array}\)

+ Tính \({I_1} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f'\left( x \right).\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f'\left( x \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right){\rm{d}}x} \) (do \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\))

Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow {\rm{d}}t = f'\left( x \right){\rm{d}}x\).

Đổi cận:

\(x = {x_1} \Rightarrow t = f\left( {{x_1}} \right) = 30\).

\(x = {x_2} \Rightarrow t = f\left( {{x_2}} \right) = 35\).

Suy ra \({I_1} = \int\limits_{30}^{35} {\left( {1 - \dfrac{1}{t}} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_{30}^{35} = 35 - \ln 35 - 30 + \ln 30 = 5 + \ln \dfrac{6}{7}\).

+ Tính \({I_2} = \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f'\left( x \right).\left( {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {f'\left( x \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right){\rm{d}}x} \) (do \(f'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left( {{x_2};{x_3}} \right)\)).

Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow {\rm{d}}t = f'\left( x \right){\rm{d}}x\).

Đổi cận:

\(x = {x_2} \Rightarrow t = f\left( {{x_2}} \right) = 35\).

\(x = {x_3} \Rightarrow t = f\left( {{x_3}} \right) = 3\).

Suy ra \({I_2} = - \int\limits_{35}^3 {\left( {1 - \dfrac{1}{t}} \right){\rm{d}}t} = - \left. {\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_{35}^3 = - \left( {3 - \ln 3 - 35 + \ln 35} \right) = 32 - \ln \dfrac{{35}}{3}\).

Vậy \(S = 5 + \ln \dfrac{6}{7} + \left( {32 - \ln \dfrac{{35}}{3}} \right) = 37 + \ln \dfrac{{18}}{{245}} \approx 34,39 \in \left( {33;35} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.