Xét tất cả số thực x, y sao cho \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\) với mọi số thực

Câu hỏi số 597788:

Vận dụng cao

Xét tất cả số thực x, y sao cho \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\) với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - 4x + 8y\) bằng

A. -15.

B. -25.

C. -5.

D. -20.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597788

Phương pháp giải

Giả sử x, y thỏa \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\) với mọi số thực dương a. Chứng minh x, y thuộc một đường tròn.

Biến đổi giả thiết tìm mối liên hệ giữa x, y. Đặt ẩn phụ \(t = {\log _3}a,\,\,t \in \mathbb{R}\).

Sử dụng điều kiện bất phương trình bậc hai một ẩn nghiệm đúng.

Giải chi tiết

Giả sử x, y thỏa \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\) với mọi số thực dương a.

Ta có \(P = {x^2} + {y^2} - 4x + 8y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 8y - P = 0\)

Suy ra điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + P} = \sqrt {20 + P} \).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\\ \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - {{\log }_3}{a^3}} \right){\log _3}a\\ \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3{{\log }_3}a} \right){\log _3}a\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}a,\,\,t \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(\left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3t} \right)t \Leftrightarrow - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\).

Theo đề bài ta có \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}{a^3}}}\) đúng với mọi số thực dương \(a\) nên \( - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\) đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\{\left( {3x} \right)^2} + 3\left( { - 15 + 3{y^2}} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 9{x^2} + 9{y^2} - 45 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 5\).

Suy ra tập hợp các điểm \(M\left( {x;y} \right)\) là hình tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt 5 \).

Vậy để tồn tại cặp \(\left( {x;y} \right)\) thì đường tròn \(\left( {I;{R_1}} \right)\) và hình tròn \(\left( {O;\sqrt 5 } \right)\) phải có điểm chung

Do đó \(IO \le {R_1} + \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \le \sqrt {20 + P} + \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt 5 \le \sqrt {20 + P} \Leftrightarrow P \ge - 15\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \( - 15\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.