Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}}

Câu hỏi số 597789:

Vận dụng cao

Cho các số phức z₁, z₂, z₃ thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z₁, z₂, z₃ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng

A. \(\dfrac{{5\sqrt 7 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\).

C. \(\dfrac{{5\sqrt 7 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{5\sqrt 7 }}{{32}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597789

Phương pháp giải

Không mất tính tổng quát, giả sử \({z_3} = 2\).

Đưa điều kiện đã cho về hai ẩn \({z_1},\,\,{z_2}\).

Đặt \(\dfrac{1}{{{z_1}}} = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), tìm \({z_2}\) theo x, y.

Giải điều kiện \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) tìm x, y.

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử \({z_3} = 2\).

Khi đó \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\) trở thành \(2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = 3{z_1}{z_2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} = \dfrac{3}{2}\).

Đặt \(\dfrac{1}{{{z_1}}} = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{z_2}}} = \left( {\dfrac{3}{2} - x} \right) - yi\).

Ta có \({z_3} = 2\) và \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) nên \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{{z_2}}}} \right| = 1\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {\dfrac{3}{2} - x} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\\y = - \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2} - x = \dfrac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l} - y = - \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\\ - y = + \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do đó \({z_1} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}i;\,{z_1} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}i\).

Nên tọa độ các điểm là \(A\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}} \right);B\left( {\dfrac{3}{4}; - \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}} \right);\,C\left( {2;0} \right)\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C;\,AB} \right) = \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}.\left( {2 - \dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.