Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) tâm I(9 ;3 ;1) bán kính bằng 3. Gọi M, N là hai điểm lần

Câu hỏi số 597794:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) tâm I(9 ;3 ;1) bán kính bằng 3. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng \(\dfrac{{13}}{2}\). Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng

A. \(12\sqrt 3 \).

B. 18.

C. \(28\sqrt 3 \).

D. 39.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:597794

Giải chi tiết

Ta có: \(I\left( {9;3;1} \right) \Rightarrow d\left( {I\left( {Oxz} \right)} \right) = 3 = R \Rightarrow \left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( {Oxz} \right)\).

Gọi \(M\left( {a;0;0} \right) \in Ox\), \(N\left( {0;0;b} \right) \in Oz\)

Vì \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\) nên \(A\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( {Oxz} \right)\).

Suy ra \(A\left( {9;0;1} \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(MN \Rightarrow K\left( {\dfrac{a}{2};0;\dfrac{b}{2}} \right)\).

Gọi \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN \Rightarrow OH = \dfrac{{13}}{2} \Rightarrow HK \bot MN\).

Gọi \(T\) là trung điểm \(OM\)\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}OM \bot KT\\OM \bot HT\end{array} \right\} \Rightarrow OM \bot \left( {KHT} \right) \Rightarrow OM \bot HK \Rightarrow HK \bot \left( {OMN} \right)\)

Mà \(IA \bot \left( {OMN} \right) \Rightarrow HK\,{\rm{//}}\,IA\).

Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {0;3;0} \right)\), \(\overrightarrow {KH} = \left( {{x_H} - \dfrac{a}{2};{y_H} - 0;{z_H} - \dfrac{b}{2}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương \(\overrightarrow {KH} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{a}{2}\\{y_H} = c\,\,\left( {c \ne 0} \right)\\{z_H} = \dfrac{b}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{a}{2};c;\dfrac{b}{2}} \right)\).

Lại có:

\(OH = \dfrac{{13}}{2} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} + {c^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{{169}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(HI = OH = \dfrac{{13}}{2} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{2} - 9} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{2} - 1} \right)^2} = \dfrac{{169}}{4}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + {c^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} = {\left( {\dfrac{a}{2} - 9} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{2} - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 9a + b + 6c = 91\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 9;0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AN} = \left( { - 9;0;b - 1} \right)\).

Vì \(A,\,M,\,N\) thẳng hàng \( \Rightarrow \dfrac{{a - 9}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 1}}{{b - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 1} \right) = 9\\ \Leftrightarrow ab - a - 9b + 9 = 9\\ \Leftrightarrow ab - a - 9b = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{9b}}{{b - 1}}\end{array}\)

Từ \(\left( 3 \right) \Rightarrow 9.\dfrac{{9b}}{{b - 1}} + b + 6c = 91\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{81b}}{{b - 1}} + b + 6c = 91\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} + 80b}}{{b - 1}} + 6c = 91\\ \Leftrightarrow 6c = 91 - \dfrac{{{b^2} + 80b}}{{b - 1}} = \dfrac{{ - {b^2} + 11b - 91}}{{b - 1}}\\ \Leftrightarrow c = \dfrac{{ - {b^2} + 11b - 91}}{{6\left( {b - 1} \right)}}\end{array}\)

Ta có \({a^2} + 4{c^2} + {b^2} = 169\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{9b}}{{b - 1}}} \right)^2} + 4{\left( {\dfrac{{ - {b^2} + 11b - 91}}{{6\left( {b - 1} \right)}}} \right)^2} + {b^2} = 169\\ \Leftrightarrow 9.81{b^2} + \left( {{b^4} + 121{b^2} + 8281 - 22{b^3} + 182{b^2} - 2002b} \right) + 9{b^2}{\left( {b - 1} \right)^2} = 169.9.{\left( {b - 1} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 729{b^2} + {b^4} + 121{b^2} + 8281 - 22{b^3} + 182{b^2} - 2002b + 9{b^4} - 18{b^3} + 9{b^2} = 1521{b^2} - 3042b + 1521\\ \Leftrightarrow 10{b^4} - 40{b^3} - 480{b^2} + 1040b + 6760 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1 + 3\sqrt 3 \Rightarrow a = \dfrac{{9\left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)}}{{3\sqrt 3 }} = 9 + \sqrt 3 \\b = 1 - 3\sqrt 3 \Rightarrow a = \dfrac{{9\left( {1 - 3\sqrt 3 } \right)}}{{ - 3\sqrt 3 }} = 9 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

+ Trường hợp 1: \(a = 9 + \sqrt 3 ;\,\,b = 1 + 3\sqrt 3 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {\sqrt 3 ;0; - 1} \right) \Rightarrow AM = 2\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \left( { - 9;0;3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow AN = \sqrt {108} \).

Suy ra \(AM.AN = 2.\sqrt {108} = 12\sqrt 3 \).

+ Trường hợp 2: \(a = 9 - \sqrt 3 ;\,\,b = 1 - 3\sqrt 3 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - \sqrt 3 ;0; - 1} \right) \Rightarrow AM = 2\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \left( { - 9;0; - 3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow AN = \sqrt {108} \).

Suy ra \(AM.AN = 2.\sqrt {108} = 12\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.