Nếu \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} = 20\), \(\int\limits_0^\pi {xf'\left( x

Câu hỏi số 598215:

Vận dụng

Nếu \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} = 20\), \(\int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\) thì \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) bằng

A. -30.

B. -50.

C. 15.

D. 25.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598215

Phương pháp giải

Xét \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \), đổi biến \(\sqrt x = t\).

Xét \(P = \int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\), sử dụng tích phân từng phần \(\left\{ \begin{array}{l}x\sin x = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

+) Xét \(I = \int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \).

Đặt \(\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Leftrightarrow dx = 2tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \end{array} \right.\).

Thay: \(I = \int\limits_0^\pi {f\left( t \right)\cos t.2tdt} = \int\limits_0^\pi {2xf\left( x \right)\cos xdx} \).

Xét \(P = \int\limits_0^\pi {xf'\left( x \right)\sin xdx} = 5\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x\sin x = u \Rightarrow \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx = du\\f'\left( x \right)dx = dv \Rightarrow f\left( x \right) = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left. {x\sin xf\left( x \right)} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {\left( {\sin x + x\cos x} \right)f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 5 = - \int\limits_0^\pi {\sin xf\left( x \right)dx} - \int\limits_0^\pi {x\cos xf\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 5 = - 20 - \dfrac{I}{2} \Leftrightarrow I = - 50.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.