Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện: \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left(

Câu hỏi số 598221:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn điều kiện: \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:

A. 3(1 – e).

B. 3e.

C. 0.

D. 3(e – 1).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598221

Phương pháp giải

Nhân 2 vế \(xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) với x.

Tích phân hai vế \({x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,xf\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( {{x^3}} \right) + xf\left( {{x^2} - 1} \right) = x{e^{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {x{e^{{x^2}}}dx} \end{array}\)

+) Đặt \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} \).

Đặt \({x^3} = t \Leftrightarrow 3{x^2}dx = dt \Leftrightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = - 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Thay: \(A = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).

+) Đặt \(B = \int\limits_{ - 1}^0 {xf\left( {{x^2} - 1} \right)dx} \)

Đặt \({x^2} - 1 = t \Leftrightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 0\\x = 0 \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\).

Thay: \(B = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{2}} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = - 0,859\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{6}\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = - 0,859\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \approx 5,154\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.